Question

成瀬

2枚目の青線の部分は何故この様に違った書き方になっているのでしょうか？

(1) 初項 200. 公差一6 の等差数列の和 9。 の最大値を求めよ.

(2) 初項一300、 公差5 の等差数列の和 95, の最小値を求めよ.

 

等差数列の和の最大・最小

5。 の式を求めてから最大・最小を考えてもよいが (別解)、 MM
等差数列は単調に増加するか減少するかのどちらかしかないことを利用すると簡潔に
例えば, (1) のように公差が負の単調減少数列ならば. いつかは負の項に  っ +ずである

 

(1) の数列を具体的に書き出してみる.
すると, 第 34 項までが正の項で, 第 35 項からは負の項である
一旦負の項になると, 二度と正の項になることはない.

第1項 第2項 ……… 第33項 第34項 第35項 第36項 ・………
200       1944 one      8           り          ー4        0 eees

5。 は, 初項から第 ヵ 項までの和である.

よって, 9,。 が最大となるのは, 正の項だけを全て足し合わせた場合 である.
つまり, 第 34 項まで (200 から 2 まで) 足し合わせた 534 が最大値となる.
第 35 項の4 も足してしまうと, 当然最大とはいえなくなる.

結局、 一般項 g。 > 0 となるようなヵの範囲における和を求めればよい わけである.
以上を踏まえると., 以下のような解答になる.

(1) 一般項は g』=200+(ゅー1)・(-6)ニ=ー6p二206

soつ0200 0 とおるも na  ーー coo
よって, 初項から第 34 項までの和が最大となる.
mp im
5,。 の最大値 53』 = っ・  34・{2・200十(34一1)・(-6)} = 3434

 

 

 

 

別解 5。 nt2 ・200二(2ー1)・(一6)} =ー3z2 十 2037

 

 

で  52
=ー3(ヵー 2で  - 吉       [ 208? は計算しなくてよい]
カー34のとき 最大値 3434
5。 を連続関数とみると上に凸の 2 次関数なので, ヵ = 宰 のとき最大となる.       ]
う

しかし, 実際は数列なので ヵ は自然数 である.
NG 9 = 33.8・‥ に最も近い自然数 ヵ = 34 のとき
別解は自然ではあるが本質的ではないので, 応用性を考えると推奨されない解法で:

 

(2) 一般項は ニー300十(2ー1)・5=5ヵ一305
gs三52一305<く0 とすると >ゎz< 305 6

り

よって, 初項から第 60 項または第 61 項までの和が最小となる
にドー =stsce mm キー)

5。 の最小値 Sso = さす ・60・{2・(300) (60一1)・5) ニー9150

 

本問は単調増加数列であり, 最初は負の項だがいつかは正の項になる.
よって、ぐ。 が最小となるのは 負の項のみを足し合わせた場合 である
ゆえに, og。 く0 となるヵみの範囲を求め、その z の範囲におけ る和を求めればよい 9

ーー ニ 61 であり, ちょうど割り切れる. つまり, x ニ 61 のとき aa 三 0 である

0 の項を足し合わせても当然和は変わらないから, 8eo 三 Se が成立することになる
よって, 単に最小値を求めるだけならば, eo と 56e のどちらを計算してもよい.
しかし、,ぐ。 が最小となるときの z, の値を問われた場合は ?。 王 60, 61 と答える 必要がある

 

 

 

 

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等差数列 和 最大、最小

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

＜にしたからです。等号もふくめたらn=61で別にそれでS61が最小で間違いではありません。
ただし、下部の補足にあるように最小のnを問われる場合があるのでテキストでは＜で求めて、ちょうどゼロを足す場合の可能性を別に議論しています。

成瀬

ありがとうございます🙇‍♀️