１．」まで
２．下線部分
の2ステップで見ていきましょう。
【α＜βのとき (x－α)(x－β)≦0 ⇒ α≦x≦β】
この法則を使うことが前提とされているので、
１．」までは【α＜βのとき】とはどんな時なのかを検討しています。
２．どんな時なのかが分かった上で、下線部分は【(x－α)(x－β)≦0 ⇒ α≦x≦β】の「α」と「β」に何が当てはまるのかというのを検討しています。
なので、」までと下線部分とでは、一応繋がってはいますがやっていることは別々の事です。
補足ですが、
任意の2つの実数、a，bについて「a＞b」「a＝b」「a＜b」のうち、どれか1つの関係だけが成り立つ。
という『不等式の性質』があるため、[1],[2],[3]の3種類の場合分けがしてあるのだと思います。
