【ク　ケコ】を教えてください。薄く書いてあるのが答えです。

数学

高校生

解決済み

約6年前

【ク　ケコ】を教えてください。
薄く書いてあるのが答えです。

リリ 56 を素因数分解するとしテアナーヒラとなるから, 56 の正の約数は全部で玉個ある -のしミ ]個の約数をすべて加えるとその和はとなる。 (2) 56 より小さい自然数で okの | 。このよ ) な自然数は全部でラコ押あり。このうち最も小さい自然数は [ケヨ] 最も大きい自然数はビ婦でぁる。 =グ *3

回答

✨ ベストアンサー ✨

としさん

約6年前

56 = 2^3 * 7
正の約数の数は (3+1)(1+1) = 8個
約数の総和は (1+2+2^2+2^3)(1+7) = 120

約数の数が8個なので
N = p^7 (pは素数)
N = p^3 * q (p,qは素数 p≠q)
N = p * q * r (p,q,rは素数 p < q < r)
の3パターン

[1] N = p^7 のケース
　N >= 2^7 = 128 となるので無し
[2] N = p^3 * q のケース
N = 2^3 * 3 = 24
N = 2^3 * 5 = 40
N = 3^2 * 2 = 54
の3個
[3] N = p * q * r のケース
N = 2 * 3 * 5 = 30
N = 2 * 3 * 7 = 42
の3個

したがって 5個
最小は 24 , 最大は54

としさん約6年前

[3]は2個の間違いでした。

めぐみ約6年前

ありがとうございます！

[2] N = p^3 * q のケース
N = 2^3 * 3 = 24
N = 2^3 * 5 = 40
N = 3^2 * 2 = 54
の3個
[3] N = p * q * r のケース
N = 2 * 3 * 5 = 30
N = 2 * 3 * 7 = 42

のところがわかりません。私の理解力が低くお手数おかけしてすみません。

としさん約6年前

えーと、まず 24のときは 2^3 * 3 (2の3乗 x 3)
24 = 2*2*2*3 なので約数は 1 , 2 , 3 , 2*2 , 2*3 , 2*2*2 , 2*2*3 , 2*2*2*3 の8個というところはいいですか？
[2]のように素因数2個で ○の3乗x△ で表せる場合は上記の3通りしかありません。(この3通り以外は 56より大きくなってしまいます)
例えば 2*2*2*7 = 56 , 2*2*2*11 = 88 , 3*3*3*5 = 135 , 5*5*5*2 = 250 なので 56より"小さい"数を作れません。

[3]のように　素因数3個で表すことができる場合
30 = 2*3*5 なのでこちらも約数は 1 , 2 , 3 , 5 , 2*3 , 2*5 , 3*5 , 2*3*5 の8個です。
この場合も、上記2通り以外は 56より大きくなってしまいます。
例えば 2 * 3 * 11 = 66 , 2 * 5 * 7 = 70 , 3 * 5 * 7 = 147 なので、56より小さいのは 2通りだけです。

素因数4個以上では約数の個数が8個にならないので [1]素因数1個 [2]素因数2個 [3]素因数3個だけ考えればよいです。