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相加・相乗平均の関係というのは
a>0, b>0となる実数a, bに対して(a+b)/2(相加(算術)平均)≧√ab(相乗(幾何)平均)
が成り立つことです. 等号成立がa=bのときであることにも注意しよう.
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(1) 4変数あるのですが, a+b, c+d個別に不等式を適用すればいいです.
a, b, c, dは正の数なので, 相加平均・相乗平均の関係から
(a+b)/2≧√ab, (c+d)/2≧√cdが成り立つ. なお等号成立はそれぞれa=b, c=dのときである.
積をとって移項すれば(a+b)(c+d)≧4√abcdがいえる. なお等号成立条件は上と同じである.
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(2) これも同じ発想でいいです.
a, b, cは正の数なので, 相加平均・相乗平均の関係から
(a+b)/2≧√ab, (b+c)/2≧√bc, (c+a)/2≧√ca
が成り立つ. 等号成立条件はそれぞれa=b, b=c, c=aである.
積をとり移項すると(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcがいえる.
等号成立条件はa=b=cである[上の等号成立条件が同時に成り立つこと.].
丁寧なご回答ありがとうございます！理解できました！！