(1)の解も使うので
f(x) = x²-ax+b = (x-a/2)²+b-a²/4
f(x)の最小値は f(a/2) = b - a²/4 = 1
4b - a² = 4
∴ b = (a²+4)/4
(2) 軸 x=a/2 が 0より小さいとき、0≦x≦2の間にあるとき、2より大きいときで分類
(i) a/2 ＜ 0 のとき ( a ＜ 0 のとき )
f(0)が最小なので f(0) = b = 2
(1) より b = (a²+4)/4 なので (a²+4)/4 = 2
a = ±2
a ＜ 0 なので a = -2
(ii) 0 ≦ a/2 ≦ 2 のとき ( 0 ≦ a ≦ 4 のとき )
f(a/2) が最小なので f(a/2) = b - a²/4 = 2
これは (1) で f(a/2) = 1 としたことに矛盾するので 不適
(iii) a/2 ＞ 2 のとき ( a ＞ 4 のとき )
f(2) が最小なので f(2) = 4 - 2a + b = 2
(1) より b = (a²+4)/4 なので 4 - 2a + (a²+4)/4 = 2
a² - 8a + 12 = 0
(a - 2)(a - 6) = 0
a = 2,6
a ＞ 4 より a = 6
上記より a = -2,6
(3) こちらは
(2) より a＜0 のとき m = b
0≦a≦4 のとき m = b - a²/4
a＞4 のとき m = b - 2a + 4
最大値M は 軸(x=a/2)より遠い方の値なので 0≦x≦2 の中心 x=1で分岐。
(i) a/2≦1 のとき (a≦2のとき)
M = f(2) = b - 2a + 4
(ii) a/2＞1のとき (a＞2のとき)
M = f(0) = b
上記より a＜0,0≦a≦2,2＜a≦4,a＞4 で分類
① a＜0のとき
M - m = (b-2a+4) - b = -2a+4 = 3
a = 1/2 となり a＜0 に当てはまらないので不適
② 0≦a≦2のとき
M - m = (b-2a+4) - (b-a²/4) = a²/4 - 2a + 4 = 3
a²-8a+4 = 0
a = 4±2√3 となり 0≦a≦2 より a = 4-2√3
③ 2＜a≦4のとき
M - m = (b) - (b - a²/4) = a²/4 = 3
a² = 12
a = ±2√3 となり 2＜a≦4 より a = 2√3
④ a＞4のとき
M - m = (b) - (b-2a+4) = 2a-4 = 3
a = 7/2 となり a＞4に当てはまらないので不適
上記より a = 2√3,4-2√3