Kを固定したら①の等式はXについての方程式とみなせます。
①はx^2+y^2=8をみたす(x,y)に対してx+yの値がkになるという仮定で得られたものです。
つまり①を満たす実数が存在しなければ、x^2+y^2=8をみたす(x,y)に対して、x+yがkにならないと言う意味です。
なので、そのようなkが存在するためには、それに対応する実数xが存在しなければならないので、①をxの方程式とみなし、実数解の存在するkの範囲を調べればいいと言うことです。
こんな感じでどうでしょうか？分からなければ言ってください。
あと、虚数に関してですがxが虚数の場合を考えるということですか？(違ってたらすいません)
そもそも前提としてこの問題ではx,yは実数であるとされていますし、最大値、最小値を考える上で虚数は大小比較ができないので此処では虚数を考える必要はないと思います。
今、見返してみたら質問の意図と回答がズレてましたね。すいません😓
改めて、確かにkの値によって①は実数解を持つか否かが変わりますし、xが実数というだけでは①は実数解を持つとは言えません。ただ解答にある
<xは実数より、2次方程式①は実数解を持つ>
これは、xが実数だったら①は実数解を持つよ〜って言ってる訳ではないです。
(例えば①においてx=-3とします。これは実数です。
しかし、実際これを代入して解いてみると①はk=虚数というカタチで出てきて①が虚数解をもつことになります。)
要するに解答にあるのは、xが実数じゃなければいけないから①は実数解を持たなくちゃダメだよねと言っています。(微分な日本語のニュアンスの違いなので伝わるといいのですが…。)
結局何をやってるかと言うと、xが実数を持つために①が実数解を持つようなkの範囲を求めてるだけです。
解釈の方はおおよそその捉え方で問題ないと思います。
まぁ、①において判別式が0以上じゃないとXが虚数解になって条件と合わないなぁくらいに思っておけば大丈夫だと思います。
また何か不明な点があれば言ってください
とても丁寧に回答してくださって助かりました。嬉しかったです！理解出来ましたd('∀'*)
自分なりに考えて分かりそうです！合ってるか確認してください。自分の言葉で説明してみます。
X²＋Ｙ²＝8 からは、実数解が出ないとおかしい。（なぜなら例えばＹ=9の時X²=−1になって、Xが実数という前提が崩れるから）そこで①は、X²＋Ｙ²＝8 のＹを消去して出した式なので、X²＋Ｙ²＝8 と同じく実数解が出ないとおかしい。よって①は実数解をもつ。
どうでしょうか…。（稚拙な文ですが…）
「虚数に関して」
Xが実数という前提は認識していましたが、①の解はなぜ虚数ではないといえるか、という意味でした m(_ _)m
そもそも①が何を表しているのか完全には理解出来ていなかったので混乱したのだと思います。