Question

YYY

2と3解説お願いします！！

2 次賠数 CO ニー4ZzT8Z がある。 ただし, っは正の定数とする。

(7 =評 とかる。 コア(6) のプララの頂所の中揚も炒 =

(2 プ⑳ の最小値が 4 であぁるときの ヶの値を求めよ。

(3③) 0ミァミ4 における プぐ⑦) の最大値を

を 7 最小値を とする。 このとき, ーー12 を
満たすような。の値を求めよ。

とWP 竹 )   ングSDつの

Answer 1

LUX SIT

f(x)=(x-2a)^2-4a^2+8a. これは下に凸な放物線で, 頂点は(2a, -4a^2+8a)である.
(1)a=1/2ならば頂点位置は(1, 3).
(2)f(x)が最小になるのは頂点位置だから-4a^2+8a=-4⇔a^2-2a-1=0
このうち正となる解はa=1+√2.
(3)まず最大値は端点のいずれかでM=Max{f(0), f(4)}={8a, 16-8a}=16-8a[0<a<1], 8a[a≧1]
最小値mは頂点位置が0≦x≦4に含まれるか否かで決まる.
0<2a≦4⇔0<a≦2のとき, m=-4a^2+8a, 2a>4⇔a>2のとき,　関数は単調減少なのでm=f(4)=16-8a
したがってM-mに関して
0<a<1のとき, M-m=4a^2-16a+16=4(a-2)^2. これはa=2-√3のとき条件を満たす.
1≦a≦2のとき, M-m=4a^2. これはa=√3のとき条件を満たす.
a>2のとき, M-m=16(a-1)>12
以上からa=2-√3または√3であればよい.