円の方程式の問題です。緑で囲ってあるところが分からないので解説お願いします。

375 原点を中心とする半径1の円をCとし, x軸上に点P(a, 0)をとる。ただ し, α>1 とする。 次の問いに答えよ。 (1) 点P を通り円Cに接する2本の直線の方程式を求めよ。 (2)(1) で求めた2本の接線が直交するようなαの値を求めよ。

数学II、二次方程式の解と判別式の問題です。 写真の問題では、初めにkを定数とするとありますが、定数には実数も虚数も含まれるはずなのに、なんの断りもなく判別式を使って良いのでしょうか？このような問題の時は実数だなと察する感じでしょうか。

アラス A 基本 例題 41 2つの2次方程式の解の判別 k は定数とする。次の2つの2次方程式 x2-kx+k2-3k=0 ①. (k+8)x2-6x+k=0 について,次の条件を満たすkの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) ① ② のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。 (2)①②のうち,一方だけが虚数解をもつ。 0000 指針②については, 2次方程式であるから,x2の係数について, k+8≠0 に注意。 ①,②の判別式をそれぞれD, D2 とすると, 求める条件は (1) Di<0 または D2<0 →解を合わせた範囲 (和集合) (2)(D<0 かつ D≧0) または (D1≧0かつD2<0) であるが,数学Ⅰでも学習した。 うに,D,<0, D2<0 の一方だけが成り立つ 範囲を求めた方が早い。 チャート式基礎からの数学Ⅰ+Ap.200 参照。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 ②の2次の係数は0でないから k+8≠0 すなわちkキー8普通,2次方程式 解答 このとき,①②の判別式をそれぞれD,D2 とすると D=(-k)2-4(k2-3k)=-3k'+12k=-3k(k-4) D2=(-3)-(k+8)k=-k-8k+9 =-(k+9)(k-1) (1) 求める条件は,kキー8のもとで D<0 または D2<0 ax2+bx+c=0とい うときは、特に断りが ない限り、2次の係数 αは0でないと考え る。 D<0 から k(k-4)>0 kキー8であるから ゆえに k < 0,4<k k<-8,-8<k < 0, 4<k ...... ③ D<0 から (k+9)(k-1)>0 よって k<-9,1<k ...... ④ せて 求めるkの値の範囲は,③と④の範囲を合わ k<-8,-8<k<0, 1 <k -9-8 01 4 (2)①②の一方だけが虚数解をもつための条件 D<0, D2<0 の一方だけが成り立つことで ある。 ゆえに③④の一方だけが成り立つんの範囲 を求めて-9≦k<-8,-8<k < 0, 1 <k≦4 ■ x2+4ax+5-a= 0 2次方程式 ①, x2+3x+3a2= 0 1 条件を満たす定数αの値の範囲を求めよ。 ①②がどちらも実数解をもたない。 -9-8 01 k 4 ② について,次の [ 久留米 ]

解説お願いします。 写真の黄色マーカー部分についてです。 y=0以外に解が存在するのがよく分かりません。 図を見ても解はy=0だけのように見えます。 黄色マーカー部分はどこの解のことを指しているのか教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

国 111円に接する放物線 放物線y= ★★★☆ =1/2x1と円+(-a)=(a>0, r>0)②につ いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め, r をαの式で表せ。 (1) 放物線 ①と円 ②が原点0で接し, かつほかに共有点をもたない (2) 放物線 ①と円 ②が異なる2点で接する。 xについての4次方程式(別解1) 820 >0の解は を消去 1, 2 次数が高い を連立 yについての2次方程式(本解 ) xを消去 次数が低い 共有点2つに対応 対応を考える」 解は共有点のy座標を表す。 y=0の解は 図形は y 軸対称であり, 解と共有点 接点1つに対応 y▲ 思考プロセス の対応は右の図のようになる。 条件の言い換え についての2次方程式が (1)y≧0において,解が y=0 のみ (2)y>0において, 重解をもつ x Action» 円と放物線の共有点は、連立して×を消去せよ 円 解 ①より, x=2y でありy≧0 6 x ② に代入すると 2y+(y-a)2=re xを消去する。 y2+2(1-a)y + (d2-r2) = 0 ③3 (1) 題意を満たすのは, ③が y = 0 を解にもち, y> 0 の範囲に解を y = 0 しか解はない。 もたないときである。 共有点が原点のみである から, y ≧0 においては, また,このとき, グラフ の対称性から, 原点で接 するといえる。 y = 0 が解であるから, a-r2 = 0 a>0, r>0であるから r=a このとき,③は y2+2(1-α)y=0 y{y+2(1-a)}= 0 よって, ③のy = 0 以外の解は y=2(α-1) 2(4-1)≦0 より 0<a≤1 したがって 0<a≦1,r = a ① 2 (α-1) が正であっては いけない。 2(4-1)=0のときも含 まれることに注意する。

kを別の円につけてしまいましたなんでC2にkをつけるのか教えて欲しいです。C2とは異なる円が理解できません、

C:x2+y-4=0, C2:x2+y2-4x+3=0. 求める円は2円C1, C2 の2交点を通り, C2 とは異なる円であるから, x2+y-4+k(x²+y-4x+3)=0 と表される.

この問題を解く時にkf+g=0を使うらしいのですが、なぜ片方の式にしか文字（今回だとk）がつかないのですか？

「基本例 812直線の交点を通る直線 2直線x+y-4=0 ...... ①, 2x-y+1=0 ...... たす直線の方程式をそれぞれ求めよ。 (1) 点 (1,2)を通る 00000 ②の交点を通り。 次の条件を満 (2) 直線x+2y+2=0 に平行 基本8 指針 2直線 ①,②の交点を通る直線の方程式として、次の方程式 ③を考える。 k(x+y-4)+2x-y+1=0 (々は定数) (1) 直線③が点(-1,2)を通るとして,kの値を決定する。 (2)平行条件ab2-a2b1=0 を利用するために, ③ を x, yについて整理する。 CHART 2直線f=0g=0の交点を通る直線 kf+g=0 を利用 は定数とする。 方程式 x+y-4)+2x-y+1=0 ...... ③ 2直線①②の交点を通る直線 を表す。 (1) 直線③が点 (-1, 2) を通るか ら -3k-3=0 すなわち k=-1 これを③に代入して -(x+y-4)+2x-y+1=0 すなわち x-2y+5=0 ① (-1,2) (2)③をxyについて整理して (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0 直線 ③ が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は (k+2) 2-(k-1)-1=0 よって k=-5 これを③に代入して -5(x+y-4)+2x-y+1=0 すなわち x+2y-7=0 別解として, 2直線の交 点の座標を求める方法 もあるが、 左の解法は今 後、重要な手法となる (p.168 例題 106 参照)。 検討 与えられた2直線は平 行でないことがすぐに わかるから確かに交 わる。 しかし, 交わる かどうかが不明である 2直線 = 0, g=0の 場合, k+g=0の形 から求めるには,2直 線が交わる条件も必ず 求めておかなければな らない。 ③表す図形が, [1] 2直線 ①②の交点を通る [2] 直線である ことを示す。 [1] 2直線の傾きが異なるから 2直線は1点で交わる。 その交点(x, y) は,x+y-4=0. 2x+1=0を同時に満たすから,kの値に関係なく, k(x+yo-4)+2x+1=0が成り 立ち, ③は2直線 ①②の交点を通る。 [2] ③ を xyについて整理すると (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0 k+2=0, k-1=0を同時に満たすkの値は存在しないから,③は直線である。 なお、③は,kの値を変えることで, 2直線 ①②の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ けは表さない。 練習 2直線x+5y-7=0, 2x-y-4=0 の交点を通り, 次の条件を満たす直線の方程式 81 をそれぞれ求めよ。 (1) 点(-3,5)を通る (2) 直線x+4y-60に (ア) 平行 (イ) 垂直 133

マーカーを引いたところの1行目の意味は理解できたのですが、そこからどうして2行目のtの範囲が出るのか分かりませんでした。教えていただきたいです。

4 aとを定数とし, 3次方程式 8x12x2+x+a = 0 は sin/ と cos (sin/キcos) を 解にもつとする. (1) sin + cose の値を求めよ. (2)定数 αの値とこの3次方程式のすべての解を求めよ. (1) 3次方程式 8x12x2+x+a=0 ..... ① の3つの 解を, sind, cose, α とすると,解と係数の関係から, 123 B …② 8 2 = sin+coso+α: sin Acose+acost + asino =sinQcosd+α(sinQ+cos9)=1/3 ・③ sin0+ cosa=t とおくと, t2=sin'0 +2sinocose + cos20=1+2sincose 3次方 ①は sino cose を解にもっ ので、もう1つの解をαと おく. lax2+bx+cx+d = 0 (a≠0) の解をα.B.yとす ると,解と係数の関係より、 α+B+y=- b a aβ+By+ra=_ t2-1 より sinocoso= ¥200 a 2 d 3 についてy=1 a ②より t+α= 2 3 a = t ② 2 をつい t2-1 ③より, +αt= よって, 51 t= 2'2 21+ at=80& ② を代入して整理すると, (2t-5)(2t-1)=0 4t-12t+5=0 1 Js (>0)80 83

私の答案の(ⅱ)って答案に書かない方がいいですか？

4 2次方程式/実数解をもつもたないー (ア) αを実数とする. æの方程式 ax²-4x+2a=0とx²-2ax+2a2-2a-3=0がある. 2つの 方程式がともに実数解をもつようなαの値の範囲は (1) であり,ともに虚数解をもつようなa の値の範囲は (2) である. (関西学院大・文系,一部省略) (イ) a, b を異なる実数とするとき, xに関する方程式 (x-2a) (x-26) (2x-a-36)=0は 相異なる2つの実数解をもつことを証明せよ。 (中部大工) -b±√ √b2-4ac 2次方程式の判別式 るが, ax2+bx+c=0(a~c は実数で、≠0) の解は、x= の中身 D=62-4ac を判別式という. Dの符号によって,次のように判別できる。 (符号 だけが問題である. 1次の係数が “偶数” つまり26のときは,D=4 (62-ac) なので,Dの代りに, D/4=62-ac を用いる) であ 2a ・D>0のときは,相異なる2つの実数解をもつ。 ・D=0のときは, 唯一の実数解をもつ (重解という). D<0 のときは, 実数解をもたない (相異なる2つの虚数解をもつ). なお,実数解をもつもたないを示すのに, グラフを利用する方法もある. 解答 (ア) ax²-4+2a=0......1, 2-2ax+2a2-2a-3=0 ② の判別式をそれぞれD1, D2 とすると(ただし, ① は, a≠0のとき), D1/4=4-2α2... ③, D2/4=- (α2-2a-3)④ ax²+2.bx+c=0(at) x= a =62- α=0のとき, ① は2次方程式に ならないので, あとで個別に考察 する。 (1) ③ 0 かつ ④ ≧0により, 2-42≧0 かつ-(a+1) (a-3)≧0 -1≤a≤√√2 (a+0) -√2≦a≦√2 かつ-1≦a≦ a=0 のとき, ①はx=0 となり,このときも実数解をもつから, 答えは -1≤a≤√2 (2)③ 0 かつ ④ <0により,(1)の途中経過から, 「α <-√2 または √2 <a」かつ「a<-1または3<a .. α <-√2 または 3 <a (イ) (2a)(x-26) (2x-a-3b)=0を整理すると, 2-2 (a +6+1)x +4ab+a+36=0 この判別式をDとすると, D/4= (a+b+1)-(4ab+a+36)=a+b2-2ab+a-b+1 =(a-b)2+(a-b)+1 a-b=c とおくと, D/4=c2+c+1=c+- 1/1)² + 1/3>0 よって、この方程式は相異なる2つの実数解をもつ. 【(イ)の別解】f(x)=(x-2a)(x-26) (2x-a-3b) とおくと,y=f(x) と軸とが異なる2点で交わることを示せばよい. いま, f(2a)=-3(a-b), f(26)=a-b であり, a≠bであるから, f (2a) と (26) は異符号で,一方は負である. したがって, y=f(x) はx軸と異なる2点で交わる. 04 演習題(解答は p.55) 3 a y=f(x) (下に凸) S このx座標が解 f(p) <0 を満たす』 が存在する なら, y=f(x)はx軸と異なる 2点で交わり, f (x) =0は異な る2つの実数解 (pより小さい解 ←と大きい解)をもつ

この問題教えてください

3. 方程式 ax26x+a-8=0が唯一つの実数解を持つ ような実数の定数αの値とその解を求めなさい。 (類 23 東北福祉大)

【不等式の証明 最大・最小】 65の(3)についてなのですが、赤線引いてあるところが意味わかりません。 どうしてわざわざこんな展開をしているの教えてください。

これを解いて 0 のときの の. 例題16 www よって 1 -a-2a+1=(-1)>0 から a>c>0), 20-65 (2a-bc-26)<0 すなわち 2 ac+b²)<b4 よって A (2) (a²+2bc)-(2ab+ca) = a² a> b≥ c>0 D =2 = e-a< よって www 1-ab-1-a2-a)-a-2a+1=(a-1)>0 ab-a-a2-a)-aa-a² = a(1-a)>0 a<ab よって ab <1 よって 代入 0.5α = 1.5.62 ここで a=3, b=2のとき a=3, b=1のとき ゆえに、26-4は正負両方の (a2+2bc)-(2ab+ca) は正負 よって × 大小を不等号 B Clear 65a>b≧c>0 のとき,次の空欄に記号 ≧,≦, >, < のどれかを記入して正 しい関係が成り立つようにせよ。 ただし, 等号が成立しない場合は>,<の どちらかを記入し,どの記号も当てはまらない場合は×とせよ。 (1)2(ac+62)b(4a+c) (3) a2+2(62+c2)2a(b+c) (2)α²+2bc2ab+ca Ax 元素 桐原書店 2 K殻 2 L 元素 Na K殻 2 L M殻 価電子の数 16 [化学基礎] 81

なぜAP+BP=AP+B’P>=AB’がAP+BP=AP+B’P=AB’ではないのかがわからないです。「>」がつく意味を教えてください🙏(解答の４行目です)

Think 例題75 折れ線の長さの最小値 **** 2点A(1.1), B(3.1) と直線 l:y=x+1 がある. 直線上に点Pをと 考え方 右の図のように, 2点A, B が直線に関して同じ側にある A lに関して点Bと対称な点B' をとると、点P を魅上 り AP + BP が最小になるような点Pの座標を求めよ。 のどこにとっても AP+ BP=AP+B'P である.これより, AP + BP が最小となるのは、 AP+B'P が最小となるときで、このとき, 3点 A. P. B' が一直線上に ある。つまり、点Pは直線と直線AB′の交点である。 解答 直線 l に関して, 2点A, B は同 じ側にある.lに関して点Bと対 称な点をB' (a, b) とすると. AP + BP = AP + B´P≧AB' よりPが直線とAB' の交点の とき, AP + BP が最小となる. B 4 (近畿大改) 2点が直線に関して 同じ側にあるかど うか確認する。 まずに関して点 Bと対称な点B の 座標を求める.