次の問題で青い線の移り変わりが分からないのですがどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

例題 294 漸化式 [10]一般の分数型 (2) 5an+3 a1 X, An+1 (n an+3 1, 2, 3, ...) で定義される数列について an a (1) bn が等比数列となるようなα, β (α キβ) の組を1つ求めよ。 an B (2)一般項anを求めよ。 定義に戻る {6}が等比数列 bn+1=rb となる実数 rがある。 思考プロセス an+1 /a wan [≠α となる bn+1 = an+1 -β an [ ≠ β となる (条件 を利用) 6 (2) (1)のα βより, r = {6} は初項[ 公比 等比数列 Action》 漸化式 an+1= rants an-a は,bm= が等比数列となるα β を求めよ pan+g an-β an+1 a (1) bn+1 == 5an +3 an+3 a 46+1 を α で表し, an+1 B 5an +3 B b+1=rb の形を導く。 an+3 3-3a Aan+B=Alan+z)である。 an+ (5-α)an+3-3a 5-α 5-a 分子 (5-xlan+3-30 (5-0)(au+ (5-β)an+3-3β 5-β 3-3β an+ 5-β x: (5-plan +3=JP 数列 {bm} が等比数列となるための条件は (5-0)an+3-30 5-0 3-3a 3-3β √32 = =-a, =-B (5-p)am+3-38 5-p (5-P)(aue= Aut 3 Au f 5-d 5-β よって, α, β は方程式 3-3x=-x(5-x) すなわち α β は方程式 x²-2x-3=0 の2つの解であり x = -1, 3 3-3x すなわち α = -1, β = 3 る。 +1 公比 = (2)(1)より,数列{bm} は初項 5-a 5+1 5-β 5-3 = -1・3"-1 = -32-1 =-1, a1-3 =3の等比数列であるから 5-x =-xの解であ kα=3,β=-1 も条件を 満たすが,この問題では, |適するものを1組だけ求 めればよい。 an+1 an -3 an+1=-3n-1. 3-1 ・an +3" より an 3n-1+1

次の問題の青線の移り変わりがよく分からないのですがどなたか解説お願い致します🙇‍♂️

5an +3 = an+3 例題29生化式 [10] 一般の分数型 (2) a₁ = 1, an+1 (n=1,2,3, ...) で定義される数列について an a 思考プロセス an+1 - Q wan bn+1 (1) bn = an-B が等比数列となるようなα, β (α キβ) の組を1つ求めよ。 (2) 一般項an を求めよ。 (1)定義に戻る {6}が等比数列 bm+1=rb となる実数 rがある。 + α となる = r an+1-B an ] ≠ β となる (条件 を利用) 6n (2)(1)のα,βより,r= Action》 漸化式 an+1 {6} は初項 | 公比 |の等比数列 ran+s an-a = は、bn = が等比数列となるα β を求めよ pan+q an-β 5an+3 a an+1 -α 解 (1) 6n+1 = an+3 = an+1 - B 5an +3 B 1bn+1 を am で表し, bm+1=6n の形を導く。 an+3 3-3a (5-α)an+3-3a an+ 5 a 5-α = (5-β)an+3-3β 5-β 3-3β an + 5-β 分母分子に a+3を掛 けて, an について整理す る。 数列{bn} が等比数列となるための条件は 3-3a =-d, 5-a 3-3β = -B 5-β よって, α, β は方程式 3-3x= -x (5-x) すなわち x²-2x-3=0 の2つの解であり すなわち α = -1, β = 3 x=-1,3 α, β は方程式 3-3x 5-x る。 =-x の解であ

次の問題で何故階差数列を使っていくのでしょうか？解説お願い致します🙇‍♂️

例題 290 漸化式 [7] ... f (n) an+1=f(n+1)an+q = a1=1, nan+1 = (n+1)an+2 (n = 1, 2, 3, ...) で定められた数列{an} の一般項を求めよ。 思考プロセス 対応を考える 例(n+1)an+1 = na,+2 の場合, na = by とおくと bx+1 = bn +2 ○対応 対応 例題290 では 対応 [対応] n(n+1) で割る An+1 An 2 nan+1 (n+1)an+2 + n+ n(n+1) 対応 || 階差型 +1 ← 6 とおくと ←bn+1=bn+f(n) Action》 漸化式f(n)an+1=f(n+1)an+g は, 両辺をf(n)f(n+1) で割れ 解 nan+1 = 例題 276 (n+1)an+2の両辺をn(n+1) で割ると f(n)an+1 = f(n+1)an+ の両辺をf(n)f(n+1) で割ると an+1 f(n+1) an + f(n) f(n)f(n+1 an+1 an 2 = + n+1 n n(n+1) an 2 bn = とおくと bn+1 = bn + n n(n+1) 2 よって bn+1-bn n(n+1) n≧2のとき 2 1 a1 bn = b₁ + = 1+2 161 = 1 k(k+1) k+1 階差数列を利用する。 =1+2 =1+2{( k + =1+2(1-1)= +1 + 3 3n-2 n n=1 を代入すると1となり, 61 に一致する。 3n-2 ゆえに, bu = n したがって an=nbn=3n-2 1)} ReAction 例題 276 「分数の数列の和は, 部 分数分解せよ」 n=1のとき 3.1-2 1 =1

次の問題で何故青線の様なことが言えるのでしょうか？解説お願い致します🙇‍♂️

a1=4, an+1 = 4an -9 an-2 (n = 1, 2, 3, ...) で, 定義される数列について (1) an ≠3 を示せ。 (2) an-3=bn とおいて, 一般項 αn を求めよ。 とおいて,一般項 ( 鹿児島大) 思考プロセス 目標の言い換え an≠3を示せ 《ReAction 「〜ない」の証明は、 背理法を利用せよ すべての自然数nでanは3ではないことを示せ 例題54) an ある自然数nで3が成り立つと仮定して, 矛盾を導く。 / 条件 3 から, an+1, an+2, An+3, ···を考えても矛盾は導けない。 の利用法 an =3 から, an-1, an-2, An-3, ...を考えると, α = 4 にたどり着く。 Action》 漸化式 An+1= ran+s pan+α rbn は, bn=an-α とおいて bn+1 = とせよ pbn+t 解 (1) ある自然数n (n≧2) について an=3 と仮定すると 4an-1-9 an=3であると仮定し て矛盾を示す(背理法)。 3 = An-1-2 整理して, 3(an-1-2)=4an-1-9 より an-1= 同様に, an-1 = 3 であれば an-2 =3 よって an = an-1 = an-2 =.. これは, α1 = 4 に矛盾するから = α = 3 an ≠3 an=3ならば an-1 = 3 であるから, a1=3の =3となり

この問題は、x=<0,3=<xのときの接線は考えなくて良いのですか？

関数f(x)=|x (x-3)| とする。 曲線 y=f(x) 上の点P(1, 2)における 接線lとこの曲線で囲まれた2つの部分の面積の和Sを求めよ。 ≪@Action 放物線と直線で囲む面積は,f(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-α) を用いよ 見方を変える 例題222 単純に分割すると, 計算が大変 思考プロセス VXX の形にして 面積を足し引きすると 公式が使える 例題 188 0≦x≦3のとき, f(x)=-x+3x より f'(x)=-2x+3 f'(1) = 1 より 接線の方程式は y-2=1.(x-1) すなわち y = x +1 ここで,曲線 y=f(x)と接線は x0,3≦x において共有点をも ち、その共有点のx座標は x2-3x=x+1 x2-4x-1=0 よって x=2±√5 O 3 2-√5 2+√5 したがって, 求める面積の和Sは 2+√5 216 例題 S= {(x+1)(x3x)}dx2f(x+3x)dx ・3 x d0≦x≦3のとき f(x)=-x(x-3) =-x+3x x=0, 3≦xのとき f(x)=x(x-3) =x^2-3x 2+√5 -x-(2-√5)}{x-(2+√5)}dx +2 fx √x(x-3)dx =1/11(2+√5)-(2-√5)-2(3-0) 20√5 = -9 3 2/52+√503 J.

次の問題の青い線のところはどの様にして出しているのでしょうか？

例題269 漸化式 〔6〕… an+1= pan +(nの1次式) a1= 5, an+1=2an-3n+4 (n = 1, 2, 3, ...) で定められた数列{an} の一般項を求めよ。 既知の問題に帰着 定数にしたい nをn+1とした an+2 24n+1-3(n+1) + 4 式との差をとる an+1 = 2an-3n+4 -) an+1 = 2an -3m +4 an+2an+1 = 2 (an+1-am)+(定数) (an+1- 黒のプロセス || bn+1 6 とおくと 1 bn+1 = pbn+q 2 Action》 漸化式 an+1=pan+(nの1次式) は, n をn+1に置き換えて差をとれ 解 漸化式 an+1 = =2an-3n+4 ... ① において, nをn+1に置き換えると an+2 = 2an+1-3(n+1) + 4 ② ② ① より an+2 -αn+1=2(an+1-an) -3 ... an+1 -an=bn とおくと bn+1 = = 2bn - 3 題 85 よって bn+13=2(bn-3) ゆえに、数列{bn-3}は初項 b1-3=α2-α-3= 3, 公比2の等比数列であるから bn-3=3.2η-1 よって bn=3.2 -1 +3 ゆえに, n ≧ 2 のとき {m}は{an}の階差数列 である。 ●特性方程式 α=2a3 より α = 3 |a2= 2a1-3.1 + 4 = 1 {an} の階差数列の一般 が求まった。 n≧2のとき n-1 n-1 an = a1+Σbk = 5+ (3.2-1 +3) (3. (3•2*-1+3) k=1 k=1 an = a₁+ =5+ 3(2-1-1) 2-1 +3(n-1) =3.2"-1+3n-1 n=1 を代入すると5となり, α に一致する。 n=1のとき したがって an = 3.2"-1+3n-1 3・21-1 +3.1-1 2.119

解説お願いします。 黄色マーカー部分の式変形が分かりません。 途中式をもっと細かくして教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

例題 284 一般項に (-1)" を含む数列の和 Sn=12−22+32-4 +52 -6°+・・・+(-1)n+1.n2 を求めよ。 思考プロセス 式を分ける 717 符号が交互に変わることから、2項ずつ組にして考える。 Sm= =(12−22)+(32-42) + (52-62) +...... 場合に分ける **** 最後も組 → (12−22) + (32-42) +... + □2+ ○ 2-2) (nが偶数のとき) (12-22)+(32-42) + ··· + (O² - 2) +[ 最後余る Action» 一般項に(-1) を含む数列は,nの偶奇で場合に分けよ 700 解 (ア) nが偶数のとき, n=2m(m = 1, 2, 3, ･･･) とおくと (nが奇数のとき) Sn = S2m = (12-22) + (32−42)+(52-62) ... +{(2m-1)^2-(2m) m m 1 = {(2k−1)² - (2k)²} = Σ (−4k+1) 517- k=1 =-4・ 2 k=1 -m(m+1)+m=-m(2m+1) (+)Kampin n=2mより, m= Sn == 1 1 -n であるから n(n + 1) (イ) nが奇数のとき, 10 n(n+1) Ratsportsof+”の式で表す。 n=2m-1(m= 1, 2, 3, ･･･) とおくと Sn=S2m-1=Szm+ (2m)2 =-m(2m+ 1) + 4m² =m(2m-1) n=2m-1より, m= 11/12 (n+1) であるから を3以上の奇数として, S2m+1=S2m+ (2m+1)^ と考えてもよい。 (ア) の式を利用する。 Szm=Szm-1-(2m)2 ―m(2m+1)+4m² =m{-(2m+1)+4m} =m(2m-1) Sn=1/12 (n+1){(n+1)-1}=1/21n(n+1)1-8-201 1-1/2m(n+1) (wは偶数) to 1) 11/12m(n+1) ( n は奇数) re (ア)(イ)より Sn= すなわち Sn = (-1)+1. 1½n(n+1) このまま答えとしてもよ い (1)+1 J-1 (n が偶数) (1 (nが奇数)

写真のピンクで囲った変形？が、どういうことなのかわかりません。教えてください！よろしくお願いします🙇

35. Go A 例題 19 ユークリッドの互除法の応用 思考プロセス nは2桁の自然数とする。 2つの自然数 6m² + 14n +55 と2m² +4n+17 互いに素ではないとき,この2数の最大公約数を求めよ。 さらに、このよ うなnをすべて求めよ。 « ReAction 素因数分解が容易でない2数の最大公約数は, ユークリッドの互除法を利用せよ 互除法の原理… 2つの自然数a, b に対して,a=bg+r (r≠0) のとき (α ともの最大公約数)=(bとrの最大公約数) 6n2+14n+55=3(2n²+4n+17) + 2n+4 411 (6n2+14n+55と2n² +4n+17の最大公約数)= (2n²+4n+17 と の最大公 2次 2次 2次 1次 次数が下がる 次数を下げる 繰り返すと0次 (整数)になる 解 6m² +14n+55を2m²+4n+17で割ると 例題 9 IA 6m² +14n+55=3(2n²+4n+17)+2n+4 2n²+4n+17を2n+4で割ると 2m² +4n+17=n(2n+4)+17 A=BQ+R の形をつ る。 301 よって, 6m² +14 +55 と 2n² +4n+17 の最大公約数は互除法の原理 2n+4と17の最大公約数と一致する。 ここで, 17 は素数であるから, 2n+4 と 17 の最大公約数 は1または17であるが, 6n² + 14n+55 と 2n² +4n+17 は 互いに素ではないから, 最大公約数は1ではない。 よって, 求める最大公約数は 17 ゆえに, 2n+4は17の倍数である。 ここで, nは2桁の自然数であるから 24≦2n+4 <204 (6m² +14n+55と 2n²+4n+17 の最大公 =(2n²+4n+17 と 2 の最大公約 = (2n+4と17 の最大公約 また, 2n+4は偶数であるから 2n+4=34,68, 102, 136,170 したがって n=15,32,49,66,83 Point...ユークリッドの互除法による多項式の最大公約数の求め方 2つの多項式 A, B の最大公約数を求める手順 ①AをBで割ったときの余りR を求める。 (2) BをR で割ったときの余り R2 を求める。 (3) ②と同様の作業を R が整数となるまで繰り 返す。 その整数 R が求める最大公約数である。 候補を絞り込む nが2桁の自然数 す わち 10≦x<100 である ことから, 2n+4の 得る値の範囲を絞り込む 2n+4=2(n+2) より 2n+4は偶数である。 6n2+14n+55=3(2m²+4n+17)+2n+4 2n²+4n+17=n(2n+4)+17 (0次(整数) 最大公約数は17 +3 習 19 n は 50 以上100以下の自然数とする 2つの白枠数 31 2 12m +76 [と

解説お願いします。 (2)の問題で、最初に積分区間を入れ替えた理由が分からないです。入れ替えないままx=1を代入するのはダメなのですか？ 分かる方教えてください。 よろしくお願いします。

例題 251 定積分で表され 次の等式を満たす関数 f(x) と定数αの値を求めよ。 (1) "f(t)dt = 3x²+x-2 *f(t) dt は、xの関数である。 見方を変える 例題250との違い・・・等式に定積分を含むのは同じであるが, 積分区間に変数 x を含む。 (2) S'f(t)dt = 3x-ax+1 + S* f (t)dt = [F(1) = F(x)= F(0) xの関数 思考プロセス xで微分すると dx f f (t)dt = dx d{F(x)-F(a)}=f(x) Sf(t)dt = 0 x=を代入すると f(t)dt = Action» "f(t)dt を含む等式は,xで微分せよ (1) 与式の両辺をxで微分すると, b d f(t)dt=f(x)より dx 上演 f(x) =6x+1 与式にx=a を代入すると,f(t)dt=0 より 0=3a2+α-2 ff(t)dt=0を用い a るために、積分区間の下 端のαをxに代入する。 (3a-2) (a+1)= 0 より 2 a = a= -1 (2) 与式はf(t)dt = 3x+ax-1 ・① f(t)dt= - f(t)dt ①の両辺をxで微分すると, caff(t)dt=f(x)より f(x)=-6x+a ① に x=1 を代入すると,f(t)dt=0 より よって 0= -3+α-1 a=4 ②に代入すると f(x)=-6x+4 積分区間の上端と下端が 一致するようなxの値を 代入する。

次の問題の青い線の移り変わりが分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

次の数列の和を求めよ。 思考プロセス S = 1.1+3・3+5・32 + 7.3 + +(2n-1)・3n-1 既知の問題に帰着 一般項 (2n-1)3"-1の和 (等差数列)・(等比数列) 等比数列の和の公式の導き方と同様に求める。 (Point参照 ) ×(公比) ( S = 1・1+3・3+5・32+7・3°+ ... + (2n-1)・3-1 -) 35 = - 2S=1・1+( 等比数列の和 )-(2n-1) 3r 1・3 + 3・3° + 5・3° + + (2n-3)・3-1+ (2n-1)・3 Action》 (等差数列) × (等比数列) の和Sは, S-S を計算せよ 解 S = 1.1+3・3+5・3 + ･･･+(2n-1)・3n-1 ①の両辺に3を掛けると 3S = = ① ② より ① 1.3 + 33° + + (2n-3)・3n-1+ (2n-1)・3 ② -2S = 1・1+ 2 3 + 2・3 + +2.3"-1-(2n-1)3" =1+2(3+32 + +3"-1)-(2n-1)・3" 3(3-1-1) =1+2・ (2n-1).3n 3-1 =3"-2-(2n-1) 3 =-2(n-1)・3-2 ② したがって S= (n-1)3" + 1 の符号に 3 +3 +... + 3,公比3, この等比数列の とくに数