Question

淳華

解説お願いします。
(2)の問題で、最初に積分区間を入れ替えた理由が分からないです。入れ替えないままx=1を代入するのはダメなのですか？
分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

例題 251 定積分で表され
次の等式を満たす関数 f(x) と定数αの値を求めよ。
(1)
"f(t)dt = 3x²+x-2
*f(t) dt は、xの関数である。
見方を変える
例題250との違い・・・等式に定積分を含むのは同じであるが, 積分区間に変数 x を含む。
(2)
S'f(t)dt = 3x-ax+1
+ S* f (t)dt = [F(1) = F(x)= F(0)
xの関数
思考プロセス
xで微分すると
dx f f (t)dt =
dx
d{F(x)-F(a)}=f(x)
Sf(t)dt = 0
x=を代入すると f(t)dt =
Action» "f(t)dt を含む等式は,xで微分せよ
(1) 与式の両辺をxで微分すると,
b
d
f(t)dt=f(x)より
dx
上演
f(x) =6x+1
与式にx=a を代入すると,f(t)dt=0 より
0=3a2+α-2
ff(t)dt=0を用い
a
るために、積分区間の下
端のαをxに代入する。
(3a-2) (a+1)= 0 より
2
a =
a=
-1
(2) 与式はf(t)dt = 3x+ax-1
・①
f(t)dt=
-
f(t)dt
①の両辺をxで微分すると,
caff(t)dt=f(x)より
f(x)=-6x+a
① に x=1 を代入すると,f(t)dt=0 より
よって
0= -3+α-1
a=4
②に代入すると f(x)=-6x+4
積分区間の上端と下端が
一致するようなxの値を
代入する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

xだから代入したように見えるだけで、1はそのまま代入できません
以下のように考えれば入れ替えなくても解けます

f(t)の原始関数のひとつをF(t)とおくと、
　∫[x→1]f(t)dt=F(1)−F(x)
これをxで微分すると、
　(d/dx)∫[x→1]f(t)dt
　=(d/dx)(F(1)−F(x))
　=0−F’(x)
　=−f(x)

一般に、
　(d/dx)∫[p→q]f(t) = f(q)q’−f(p)p’
(p,qはxの関数または定数)

淳華

分かりやすい解説ありがとうございます！