【母比率の推定】 標本比率 R から母比率を推定する.
☆標本比率 R から母比率を推定する公式 (信頼度 95%の信頼区間)
R(1-R)
R-1.96.
≦p≦R + 1.96.
R(1 -R)
(教科書p. 89 参照)
n
n
この公式は教科書でも証明がなされているが, 今回は別の方法で説明してみる。 以下の手順 (1)
を読み進め, 空欄を埋めながら納得せよ.
~
(6)
(1) 母集団が十分大きな場合を考える。 その母集団の中で性質 A をもつものの比率を母比率と
呼ぶ。 この集団から大きさの標本を無作為抽出し, その標本に含まれる性質 A であるものの
個数を X とする.すると Xは,(確率分布名)→二項に従う.
(2) 標本数 n が十分大きいとき,前述の分布は,正規分布
に近似的に従う.
(3) Xがnp-A≦x≦np+A の区間に含まれる確率が 0.95 となる A を求めると,
Ponp-A≦x≦np+A)=0.95 より
Z=
x-np
という変換により,変換後の変数 ZをN(0, 1) に従うようにして,
√mp (1-1)
A
A
P
=0.95 (←真ん中の式はZのこと)
Anp(1-P)
Thpc1-p
JAD (HP)
X
1
(4) ここで,標本比率
という変数を考えると,上式の不等式の中辺を分母分子
倍することで
n
n
X
A
・P
n
A
P
|=0.95 ∴.A=
Inpll-p)
PI-P)
(5) よって -1.96.
Þ(1 - p)
X
1.96.
Þ(1-p)
n
n
n
X
これより
--1.96
p(1 - p)
X
+ 1.96.
p(1-p)
となる.
n
n
n
n
(6)が大きいときは,標本比率 R を,母比率のの代わりに推定の式に利用してよいことに
なっていて, (*)の母比率の推定の公式が得られる.
