13行目の∠PCM=∠COMはなぜ分かるのですか、 教えてください🙏

「円0の直径でない2つの弦 AB, CD について, 弦 ABは弦 CDを2等分す る。C, Dにおけるこの円の接線の交点をPとするとき, 4点0, A, B, P (291 方べきの定理の逆 弦 の直径でない2つの弦 AB, CD について, 弦ABは弦CDを2等分す は同一円周上にあることを証明せよ。 逆向きに考える 「4点0, A, B, Pが同一円周上にある」ことを示すには, 次の(ア)~()の いずれかを示せばよい。D (7) 円周角の定理の逆 (イ) 対角の和が180° (ウ)方べきの定理の逆 A 0 P 0 P B B B 「角についての条件がない 本間では 条件に交わる2つの弦 AB, CDがある (ウ)方べきの定理の逆 を考えてみる。 ロ Action》 4点が同一円周上にあることは, 方べきの定理の逆を用いよ 園弦CD の中点をMとする。 弦AB と CD について,方べき の定理により Mは AB とCD の交点で ある。 MA·MB = MC· MD 30以 MC = MD より てVDE 示したい式は MA·MB = MO· MP Oより、MC = MO·MP を示せばよい。 MP:MC = MC:MO と比の形で見ることで APMCと△CMO の相似 を示そうと考える。 @Action 例題 272 「線分の長さの積は, 相似 比を利用せよ」 MA·MB = MC° ここで,APCD において, PC = PD, MC = MD より …0 B D OG PM 1 CD よって, OP はCD と M で交わ る。 APMC と △CMO について, ZPMC = LCMO = 90°,. ZPCM = ZCOM より APMC ACMO よって、PM: CM BB CM° = OM· MP …(2) = CM:OM より 2 PMC= Z MC9+ トMoc (外角) Pco= L pCM+ムMCO MCO- APce-<PcM MA· MB = MO· MP の, 2より は同一円周上にある。 トP MC= 2fco- APCM +ムMOQ TiHAから対辺 BC またはその延長上に下ろした垂線を ADとす 8章|1円の性質 思考のプロセス一

〔1〕の(2)について質問です。「p^5またはp²q」とありますが「p^5またはpq²」でもいいですか？？ またそれはなぜでしょうか？？

(2) n°-2n-8が素数となるような整数nの値を求めよ。×o (1) 正の約数が次の個数であるような 100 以下の自然数の個数を求めよ。 の約数が次の個数であるような100以下の自然数の個数を求めよ。 (1) 3個 (2) 6個 X9 既知の問題に帰着 素因数分解 N=がq"r" N の約数の個数 (1] 例題 226 例題227(1) N =[ (Z+ 1)(m+1)(n+1)…個 3個 (2) N =[ -6個 どのような形になればよいか? 条件の言い換え 「2] n°-2n=8= (n+2)(n-4) が素数 n+2 1 素数 ベ-1 |-(素数) n-4 素数 ー(素数) とならなければいけない。 1 Action》素数pは, 1とp以外に約数をもたないことを利用せよ 11 解(1)(1) 正の約数の個数が3個である自然数は,ある素 数pを用いての形で表されるから 22, 3°, 5°, 7° の 4個 う(時) がの正の約数は1, p, が の3個である。 (2) 正の約数の個数が6個である自然数は,異なる2つ の素数p,qを用いて,"がまたはがqの形で表され o ot 0 がの正の約数の個数は (5+1) =6 (個) がgの正の約数の個数は (2+1)(1+1) =D6 (個) る。 (ア) がの形で表される 100以下の自然数は 25 の1個 3 = 243 > 100 (イ)がgの形で表される 100以下の自然数は 2°.3, 2°-5, 2°.7, 2° 11, 2°·13, 2°. 17, 22.19, 2°-23,3°.2, 3°·5, 3°.7, 3°·11/ 5°.2, 5°-3, 7°.2 (ア,(イ)より の 15個 1+15 = 16 (個) 思考のプロセス

〔1〕の(2)について質問です。「p^5またはp²q」とありますが「p^5またはpq²」でもいいですか？？

(1) 正の約数が次の個数であるような 100 以下の自然数の個数を求めよ。 (2) 2°-2n-8が素数となるような整数nの値を求めよ。 Xo 歌の性質につい 約数が次の個数であるような100以下の自然数の個数を求めよ。 (1) 3個 ×ム (2) 6個 XQ 既知の問題に帰着 素因数分解 N=がq"r" [1) 例題226 例題227(1) N =[ N の約数の個数 (7+1)(m+1)(n+1)…個 13個 ー6個 (2) N =D どのような形になればよいか? 「条件の言い換え (2] n°-2n-8= (n+2)(n-4) が素数 n+2 1 素数 -1 ー(素数) とならなければいけない。 7 n-4 素数 (素数) 1 -1 Action》素数pは, 1とp以外に約数をもたないことを利用せよ 章 開(1)(1) 正の約数の個数が3個である自然数は,ある素 数pを用いてがの形で表されるから う ( 2°, 3°, 5°, 7°の 4個 がの正の約数は1, p, が の3個である。 大の メ (2) 正の約数の個数が6個である自然数は,異なる2つ の素数p,qを用いて,"がまたはがqの形で表され がの正の約数の個数は (5+1) = 6 (個) がgの正の約数の個数は (2+1)(1+1) = 6 (個) る。 (ア) がの形で表される 100以下の自然数は 25の1個 3 = 243 > 100 (イ)が9の形で表される 100以下の自然数は 2°.3, 2°.5, 2.7, 2° 11, 2°.13, 2°. 17, 22.19, 2°-23,/3°.2, 3°-5, 3。.7, 3°·11/ の15個 5°.2, 5°.3, 7?.2 1+15 = 16 (個) Tnio (ア),(イ)より に約数と倍数 思考のブロセス

どうして(X,Y)≠(0,0)となるんですか？ 点QがOを端点とする半直線OP上にある場合、端点は含まれないんですか？ 点QがOと同じ位置になると、OP・OQが2とならなくなるからとかですか？

《CAction 動点Pに連動する点の軌跡は, P(s, t) とおいて s, tを消去せよ (2 OP上にOP-OQ =2 を満たす点Qをとるとき,点Qの軌跡を求めよ。 動点Pが直線 :2x+4y-1=0 上を動く。原点0を端点とする半直線 例題112 軌跡(6)…反転 題 109 I 軌跡を求める点→点Q(X, Y)とおく。 それ以外の動点 →点P(s, t) とおく。 2 与えられた条件をX, Y, s, tの式で表す。 条件の言い換え QX, Y) (P(s, t) x 条件ア → 2s+4t-1=0 「X= as (a> 0) 条件の→点Qは半直線 OP 上にある → Y= at 条件の→+がX+Y° =D2 3 2の式から, s, t, aを消去して,X,Y の式を導く。 4 除外点がないか調べる。 解点P(s, t), 点Q(X, Y) とおく。 点Pは直線1上にあるから 2s+ 4t -1= 0 点Qは0を端点とする半直線 OP上にあるから X= as, Y = at (a>0) ち0 X イベクトル(数学B)を用 ( ++)いると OQ = aOP(a>0) Y t= a とおくと 2 yと表すことができる。 S=- .あか a 4Y -1= 0 a 2X のに代入すると a よって a=2X+4Y 3) Vs+VX°+Y2 =2 OP·OQ = 2 より 2を代入すると (2 Y ()+(G)+ア=2 よって X°+Y? = 2a よって X +Y° = 2a 3を代入すると X°+Y? = 2(2X+4Y) (X-2)°+(Y-4)° = 20 ここで,(X, Y) キ (0, 0) であるか ら,求める軌跡は 円(x-2)°+(y-4)° = 20 ただし,点(0, 0) を除く。 ゆえに 半直線 OP 上に点Qを OP-OQ = (一定) となるように定める。こ のとき点Pを点Qに対 応させることを反転と いう。 12 0 x 思考のプロセス|

黄色い線のところをどうやって考えているのか教えてください🙇‍♀️

特講 二項定理 ·nCr の性質 >>例題 4~8, Play Back 1, 宝を 例題4 二項定理 頻出 1 章 (1)(3x+2y)° の展開式における x*y° および xyの係数を求めよ。 2 3a- a の展開式におけるaおよび の係数を求めよ。 3abc 定理の利用 (a+b)" の nの値が大きい-→ 二項定理を利用 (a+b)" = nCoa"+»Cia"-1b+»C2a"-?6°+ … *定理の導き方は p.15 まとめ参照。 +,C,a"-rb"+… +»Cn-1ab""ー1+,Cn6" 一般項 o Action》(a+6)" の展開式の一般項は, n C,a"-b" (0SrSn) とせよ (1)(3x+2y)° の展開式の一般項 ごある。 C, (3x)°- (2y)” =D &Cr3°-r2" 20-グyr (r= 0, 1, 2, …, 6) 係数 x*y?, xy° となるようなrの値は? 解(1)(3x+2y)°の展開式における一般項は 6C, (3x)-"(2y)=C,3°-r2"x°-"y x-ry" の係数は。C,3°-r2" (r= 0, 1, 2, 6C2342° = 4860 6C,3'2 = 576 6) x*y? の係数は, r=2 とおいて xy® の係数は,r=5 とおいて 文字の部分がx*y?となる のは x°-Ty"= x*y? とお くとr=2 のときである。 (3a--)の展開式における一般項は (別解)(4章「指数関数 対数関数」の学習後) a7- a7-r = α"-r-2r = a'7-3r ar aの係数については a'-3r = a より a° ar の2 (r= 0, 1, 2, , 7) a7-r aの係数について, =aとおくと a'-r = ar+1 7-3r =1 から r=2 ar 6) 1 の係数については 7-r=D2r+1 より r=2 1 =a3として C3°(-2)° = 20412 たが とおくと よって,aの係数は a"-r の係数について, ar 11 ,7-7 1 a0-r=a" Q"-3r =a°より ァ-3 a° 10 7-3r = -3から r= 10 10-r= 2r より アミ 3 (以降同様) これは,rが整数であることに反する。 SaDL よって,言の係数は0 1日係数は「なし」 と答え てはいけない。 練習 4 (4x-y)? の展開式における の係数を求めよ。 - 整式·分数式の計算

丸で囲ってある部分が分かりません。 何故このような理論になるのですか？ 薄くてすみません

関数 f(x) = x°_6x°+9x-1 の区間 t<xSt+1 における最大値 M(t) 例題224 関数の最大·最小[4]…区間の両端に文字を含む を求めよ。 例題219 (@Action 関数の最大·最小は, 極値と端点での値を調べよ 幅1 場合に分ける 区間tSxSt+1に文字が含まれている。 tの値が大きくなるほど, 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 t+1 5右側へ動いていく (極大となる点を 区間に含む . M(t)= (極大値) (極大となる点を 区間に含まない 区間の両端での (値の大小を考える。 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) 解f(x) = 3x° -12x+9=3(x-1)(x-3) f(x) = 0 とおくと よって,f(x) の増減表は次のように なる。 x= 1, 3 3 x 1 3 S0>ョ>0) 3 0=ロ f"(x) 0 0 大爆0 大テ f(x) 3 -1 ゆえに, y=f(x) のグラフは右の図。 ここで,f(t) = f(t+1) となるtの値は ピ-6°+ 9t -1= (t+1)°-6(t+1)。+9(+1)-1 ポ-6° +9t-1= パー3+3 整理すると の 3t°-9t +4= 0 よって 9土/33 t= t+1 6 グラフより, M(t) =D f() =Dft+1) t3 x となるとの値は 9+/33 t= 9-133 のときは, 6 t= 6 最小値がf(t) = f(t+1) となるときである。 (ア) t+1<1 すなわち t<0 のとき M(t) = f(t+1) = ポ-3+3 t+1 思考のプロセス|

この解き方でも〇ですか？

し, AL と CN の交点をP, ALと BM の交点を Q, BM と CN の交点をR 、例題 282 メネラウスの定理と面積比 の人 AABCの3辺BC, CA, AB をそれぞれ1:2に内分する点をL. MN」 1ALと CN の交点をP, AL と BM の交点をQ, BM と CN の交点をD とする。次の三角形の面積を △ABC の面積Sを用いて表せ。 (2) APQR (1)ABCR 例題27 《RAction 高さ (底辺)の等しい三角形の面積比は,底辺(高さ)の比とせよ 逆向きに考える (1) △BCRからはじめて, △ABC へ広げていくには,どの線分の比が必要だろうか? A ABCRと 見方を変える N 似た構図 直接求めるか? △ABC-(APQR 以外の部分) → と考えるか? M R (2) APQR B L C ABCR → ABCM 解(1) AN:NB = 1:2 であり, CM:MA = 1:2 より → AABC と広げてい ために, BM:BRをメ ラウスの定理を用いて める。 M CM:AC = 1:3 R よって,△ABM と直線 CN につ いて,メネラウスの定理により B A N。 3 AC MR BN =1 CM RB NA 6) R 3 MR 2 RM =1より 1 AMBLQ 1 RB BR 6 よって RM:BR = 1:6 ゆえに BM:BR = 7:6 MAO 例題 275 したがって 6 ABCR 7 号ABCM = 6 1 △ABC 3 AT CM:MA =1:2よ CM:AC= 1:3 D ニ 7 10 3) の 思考のプロセス

①の変形を分かりやすく解説していただきたいです

AABC において, AB:AC=D2:3である。辺 AB, BC の中点をそれぞれ a題 281 メネラウスの定理 面要宝の 頻出 MNとし,ZAの二等分線がMN, BC と交わる点をそれぞれP, D とす るとき,次の値を求めよ。 AP MP PD PN (日本大) 三角形の3辺(またはその延長)と 直線が交わる右の構図。 →メネラウスの定理 A R お =1 か あ) (う R い え) B 図を分ける B 求める比と条件の比から右の構図を抜き出す。 直線」 直線 (1) 三角形 (2) 三角形 Action》三角形に直線が交わるときは, メネラウスの定理を用いよ | AD は ZAの二等分線であるから BD:DC = AB:AC= 2:3 また,BN:NC=1:1 であるから BD:DN:NC=4:1:5 …D BD:DC = 4:6, (1) △ABD と直線 MN について メネラウスの定理により BN:NC = 5:5 A 2] A 13 BN DP AM =1 ND PA MB \P M B DN 2 C 5 DP 1 のより B 三 1 PA 1 |BCN AP = 5 PD よって (2) AMBN と直線 AD について BD NP MA M = 1 メネラウスの定理により DN PM AB 4 NP 1 B 0より =1 1 PM 2 MP 2 PN よって 三

(ウ)で(2y－3,2z－3)=(1,9)がダメな理由は何ですか？

範囲の条件 0<xSySzから,どの文字の範囲を絞り込むか? KOAction 不定方程式は、文字の範囲から解の候補を絞り込め -= 1,0<xSySzを満たす自然数の組 (x, y, z) を求めよ。 宝不 1 1 x 例題246) 候補を絞り込む 2の範囲 を絞る 1 1 = x 1、1 1 3 →z23 絞り込めない y 2 2 2 2 2 xSySzより 1 x y 2 xの範囲 を絞る 1 1= x 3 →xS3 絞り込める x y 2 x x x 園0くxSyS2であるから 1-1 x y 2 1 S x 1 よって 1= x 関係式でx, y, zを最 大きいものか小さいも に置き換えて,値の範 を絞り込む。 y 2 x x x すなわち, 0<xS3 であるから x= 1, 2, 3 (7) x=1のとき =0 となり不適。 y 2 1 1 1 例題 245 ) x=2 のとき (別解) y 2 2 1.1 +-く 2 y2 y 1 1 1 12-2y-2z = 0 より (y-2)(z-2) = 4 y |2SyS4であるから y= 2, 3, 4 として,絞り込みをし 6|もよい。 0Sy-2Sz-2 であるから このとき (x, y, 2) = (2, 3, 6), (2, 4, 4) 1 1 2 例題 25() x=3 のとき (別解) 1 三 3 1 1 ニ+ー 2 yy y 2 2 1 ーすー 10 3 y 2yz-3y-32 =0 より (2y-3)(22-3) =9 3SyS3 であるか 352y-3< 2z-3 であるから (2y-3, 22-3)= (3, 3)。 このとき y=3 として,絞り込みを もよい。 (x, y, z) = (3, 3, 3) 7~()より,求める自然数の組は (x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3) 90 II 「NII NI NI → VI NI VI 田神やのフロセス

(1)の問題です。｢3つの整数の中には2の倍数、3の倍数がそれぞれ少なくとも1つ含まれる｣と書いてありますが(－1、0、1)のときを考えるとそうはならないと思うのですがどういうことなんでしょうか？ (1、2、3)や(3、4、5)のときは理解できます！ 教えてください🙇‍♀️

#が整数であるとき,次のことを証明せよ。 Action》連続する m個の整数の積は, m! の倍数であることを利用せよ 241 倍数であることの証明 即 モ 頻出 開題 241 (2) 2n°+3n°+nは6の倍数である。 逆向きに考える 6の倍数であることを示すためには )の形になる (a) 6×( (b)連続する3つの整数の積である (C)「2の倍数」かつ「3の倍数」である いずれかを示す。 Lotion》 連続する m個の整数の積は, m! の倍数であることを利用せよ 日 1) ポール=n(n-1) = (n-1)n(n+1) (n-1)n(n+1)は 3つの整数の中には, 2の倍数, 3の倍数がそれぞれ少な くとも1つ含まれるから, 6の倍数である。 よって,°-nは6の倍数である。 (2) N= 2n°+3n +n とおくと 与えられた式を因数分解 する。 4パーnを因数分解する。 連続する3つの整数の積であり, この 7 一般に, 連続する m個の 整数の積は m! の倍数と なる。 N= n(2n° + 3n+1) = n(n+1)(2n+1) n(n+1) は連続する2つの整数の積であり,n, n+1の いずれかは2の倍数であるから, Nも2の倍数である。 章 |8ユークリッドの互除 昭老のブロセス