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6 多項式の割り算/2つの余りの条件
(ア) 整式f(x)は1で割ると余りが3である。また,f(x)を
4+5である。このとき,f(x)をュー1で割ったときの余りを求めよ
(イ) 整式(x)を4x+3で割ったときの余りは+1であり、
+1で割ると余りが
(関西大 総合情報)
3+2で割ったときの余
りは3-1である。「f(x)を6ェ”+11エー6で割ったときの余りを求めよ。
2つ目の条件の反映させ方
(秋田大 医)
(ア)のように、2つの余りの条件がある場合,それらの割る式を掛け合
わせた式で割ったときの余りを求めることが多い。 (ア)を例にして説明しよう。 一方の余りの条件(割
る式の次数の高い方: いまは+x+1) の商をA(x) とおくと,
f(x)=(x+1)A (g) +4x+5... と表せる。いま、f(x)を1=(x-1)(x+x+1)で
割った余りを求めたい。そこで,-1が現れるように,A(x)をェー1で割ることを考える.A(ェ)を
ェー1で割った商をB(x), 余りをrとして,A(z)=(x-1)(x)+rとおきに代入する。この式
に対して,もう一方の余りの条件を反映させてを求めれば,-1で割った余りが分かる。
解答
(ア) f(x) = (x²+x+1)A(x)+4x+5
スートを開けん
(3)f()=(x-1)Q(+3
(1)Q(+12+
A):151-1)Q3(2)+C
←前文参照。
↓
A(x)=(x-1)B(x) +r
と表せるから,f(x)=(x'+x+1){(x-1)B(x)+r}+4r+5
=(-1)(x)+r(エ2+x+1)+4x+5
･･①
f(x) をェ-1で割ると余りが3であるから, 剰余の定理により,f(1) 3
①に=1 を代入して,f(1)=3+9
.. 3ヶ+9=3 :.r=-2
したがって, ① により, 求める余りは,
Q)=(Amith
Q2(2)=(2-1)B(42
f(x) をx-1で割った余りは2
次以下になるが, ①により.
f(x) をー1で割った余りが
(x'+x+1)+4 +5であるこ
とが分かる. あとはを求めれ
ばよい。
-2(x2+x+1)+4+5=-2x'+2x+3
(イ)-4x+3=(x-1)(x-3), 2-3x+2=(x-1)(x-2),
x³-6x²+11x-6-(x-1) (r2-5x+6)=(x-1)(x-2) (x-3)
であることに注意する. f(x) を4x+3で割った余りが+1である。商を
A(x) とおくと,f(x)=(-1)(x-3)A(エ)+1
ここで,A(z)=(x-2)B(エ)+rと表せ,これを①に代入して
f(x)=(x-1)(x-3){(x-2)B(x)+r}+x+1
一方, f(x) を2-3+2で割った余りが3x-1であるから,
f(x) = (x-1)(x-2) Q (エ)+3r-1
と表せる。式に2を代入して,f(2)=5.②にx=2を代入して,
..-r+3=5
f(2) =-r+3
..r=-2
②から,f(x)=(x-1)(2)(3)B (ェ)-2(-1)(x-3)+1
wwwwwwwwwwwwwwwwwww
したがって、求める余りは,
=-2x2+9x-5
06 演習題(解答は p.26)
-6211-6にェ=1を代入
すると0になるから, 因数定理に
よりェー1で割り切れる (次章の
4 を参照).
A (x) をェー2で割った商が
B(x), 余りが (1次式で割った
から,余りは定数).
rを求めるには,②でB(ェ) が消
えてが残るェ=2に着目。
(1)f(x)=(2-3)Q(13
f=(2-2)(1)(2)+320-1
f=(23622-112-6)Q)(2)
(1)(2)(3)
Q1(2)(x-2) Ath
Q2(x)=(7-3)B()+12
(ア) 整式P(x) を (エー)”で割ると1余り、エー2で割ると2余る。このとき,P(エ)
(1)(2)で割ったときの余りR(x) を求めなさい。
(兵庫県立大・社会情報-中)
(イ)整式Aを2で割ると余りが+3+1でありー4で割ると余りが
+1である。このときを
++4で割ると余りはである。
(イ)の前半は, 03 の演
+2で割ると余りはであり,Aを
(南山大 数理情報 )
題(イ)と同様である。
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