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基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1)
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
572
(1) a=0, az=1, an+2=Qn+1+6an
p.571 基本事項口
重要133
(2) a=1, az==2, an+2+4an+1-5an=0
指針> まず,an+2.をx, anti を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を解く。その
2解を a, Bとすると, αキBのとき
an+2-aan+1=8(an+1-can), an+2-Ban+1=α(an+1-Ba.)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
(1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ④ を用いて 2通りに表
し,等比数列 {an+1+2an}, {an+1-3an} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含むから, 漸化式は
an+2-ant1=-5(an+1-an) と変形され,階差数列 を利用することで解決。
解答
(1) 漸化式を変形すると
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
Oより,数列 {an+1+2am}は初項 az+2a=1, 公比3の等比
イx=x+6 を解くと,
(x+2)(x-3)=0から
0,
x=-2, 3
α=-2, B=3として指針
ののを利用。
数列であるから
an+1+2an=37ー1
3
2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1, 公比 -2 の等
比数列であるから an+1-3an=(-2)"
の
3-のから
5a,=3"-1-(-2)"ー1
lan+1 を消去。
は 1
したがって
a,
5
= 3-(-2)"}
(2) 漸化式を変形すると
ゆえに,数列 {an+1-an}は初項 a2-a=2-1=1, 公比 -5
の等比数列であるから
よって, n22のとき
an+2-an+1=-5(an+1-an)
(x+4x-5=0 を解くと、
(x-1)(x+5)=0から
an+1-Qn=(-5)"ー1
x=1, -5
n-1
an=a+2(-521+
k-1
n-1)
k=1
別解 漸化式を変形して
-ロ-(-3)) 2
2004)
an+2+5an+1=an+i+5aa
よって an+1+5am
2-1
n=1を代入すると,(7-(-5)}=1であるから,上の式
=an+5an-1
はn=1のときも成り立つ。
=……=a+5a:=7
an+1+5an=7を変形し,
したがって
a,=7-(-5)}
7
An+1-
6
6
から
an=
練習
次の冬件に
