0において, an+1=0 とすると an=D0 であるから,an=0 とな
また,逆数を考えるために, anキ0 (n21)であることを示しておく。
an+1=
pa,tq
型の漸化式
本例題11
565
によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
an
An+1=
4an-1
【類早稲田大)
基本116
のように,右辺の分子が anの項だけの場合の解法の手順は
an
新化式 an+1
の
の新化式の 両辺の逆数をとると
pantq
an+1
4
an
1= bn とおく と
2
bn+1=p+qb»
an
3章
ba=●b,+▲ の形に帰着。
15
TANO
an
両辺の逆数をとる
pantq
CHART 瀬化式 an+1=
答
an
のとする。
Ir+1
4an-1
Aan=0 からan-1=0
るnがあるど仮定すると
an-1=Qn-2=… =ai=0
これから
an-2=0
以後これを繰り返す。
(キ0)であるから,これは矛盾。
ところがa
三
5
よって、すべての自然数nについてanキ0 である。
逆数をとるための十分条件。
1
11
-=4-
1
4an-1
0の両辺の逆数をとると
an+1
an
an+1
an
いい
ニ=Dとおくと
bn+1=4-bn
(特性方程式
これを変形すると
bn+1-2=-(bn-2)
α=4-aからα=2
また
b-2=--2=5-2=3
a1
りえに、数列{bn-2}は初項3, 公比 -1の等比数列で
b,-2=3·(-1)"-1 すなわち bn=3-(-1)"-"+2
bn=
an
という式の形から
したがって
1
an
bn3-(-1)"+2
bnキ0
D d先
ol0gof ,
漸化式と数列