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重要 例 18 等比数列と対数
解答
00000
初項が 3. 公比が2の等比数列を {a} とする。 ただし, 10g102=0.3010.
log130.4771 とする。
【(1) 10° <a<10° を満たすnの値の範囲を求めよ。
(2)初項から第n項までの和が30000を超える最小のnの値を求めよ。
指針
基本111
等比数列において, 項の値が飛躍的に大きくなったり小さくなったりして処理に困
るときには,対数(数学II)を用いて, 項や和を考察するとよい。
(1)10° <a<10°の各辺の常用対数(底が10の対数)をとる。
(2)(初項から第n項までの和)>30000として常用対数を利用する。
(1) 初項が3, 公比が2の等比数列であるから
an=3.2-1
an=arn-1
#EXERCISES
公が実数である
立つ。このとき
別(o)の初頭から
18 自然数nに対して、
() S425,+1=
(2) Sit St
10°<a<105 から
10°<3・2"-1<105
各辺の常用対数をとると
10g1010° <log103・2"-1<10g10105
3<log103+(n-1)log102<5
よって
ゆえに 1+
よって 1+
3-log103
log102
3-0.4771
0.3010
5-10103
<n<1+
log102
5-0.4771
<n <1+
0.3010
nは自然数であるから
10 n≤16
すなわち 9.38･･････<n <16.02・・・・・・
(2) 数列{a} の初項から第n項までの和は
=3(2-1)
2-1
3(2-1)
10g1010°=310g1010=3,
log10 3.2-1
=10g103+10g102-1
=log103+(n-1)log102,
log10 105=5 log1010=5
a(r"-1)
2=1024 であるから
23=1024・8=8192
2141024・16=16384
このことから, ① を満た
すんの値を調べてもよい。
r-1
3(2-1)>30000 とすると
2"-1>104
①
10000=10^
ここで,2">10 について両辺の常用対数をとると
n log102>4
よって
n>
4
log102
4
0.3010
= 13.2······
n=14
ゆえに,n≧14のとき2" > 10 が成り立ち 214 は偶数で
あるから 214 >10+1
2"-1は単調に増加する(*)
214-1>104
の値は
から,① を満たす最小のn
(*) 2-1が 「単調に増
加する」とは, nの値が
大きくなると2"-1の値
も大きくなるということ。
練習 初項が2,公比が4の等比数列を {a} とする。 ただし, 10g102=0.3010,
④ 18 log103=0.4771 とする。
(1)αが10000 を超える最小のnの値を求めよ。
(2)初項から第n項までの和が100000 を超える最小のの値を求め
n
994円をある年の初め
串を(>0)とし、
10 数列 (on) は初項
第n項までの和
by=ay を満たす
また、Su = 250
クロである。
ell 初!
S.>90
までの
ただし、
