(2)放物線 y=x-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わるとき
tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くか
例題 108 媒介変数と軌跡 の で挟点
が実数値をとって変化するとき, 次の息Pはどのような図形を描く。
点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれむで表し, tを消去することで、x,
Check
(1) P(t+2, 2t°-3) 類
2放物線 y=ー2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わると。
の頂点P
考え方 (1), (2)で用いられている変数tを媒介変数(パラメータ)という。
の満たす方程式を導く、
P(x, y)とおく。
「x=t+2
ly=2t°-3
のより、
これを②に代入して,
y=2(x-2)?-3
よって,求める軌跡は,
放物線 y=2(x-2)?-3
(2) y=x°-2(t+1)x+t+1
={x-(t+1)}}?-(t+1)?+t+1
={x-(t+1)}?-tーt
より、 頂点Pの座標は, (t+1, -ピーt)
解答
(x, )=(t+2, 2f-3)
0, 2からtを消去す
t=x-2
2
る。
tがすべての実数値を
とるとき,xもすべて
の実数値をとる。
放物線 y=2x°-8x+5
でもよい。
0
x
)8Aを
平方完成する。
一
三 したがって,
…の
Ly=ーt-t 2
y=ー(x-1)?-(x-1)=-x+x
x=t+1
0, 2より,
ここで,放物線はx軸と異なる2点で交わるので,
y=ー-t<0
t(t+1)>0 より,
のから, x-1<-1, 0<x-1
より,
のより,t=x-1
これを2に代入
x軸と異なる2点で交
わるという条件から,
tの範囲に制限がっく.
(頂点のy座標)<0
tく-1, 0<t
y4
x<0, 1<x
よって,求める軌跡は,
放物線 y=-x°+x の
xく0, 1<x の部分
4
|01
2
Focus
x=(tの式)
y=(tの式)
tを消去
, yの方程式(x, y の範囲に注意)
「練習
108)(1) P(2t-2, 3°+1)
(2) 円 x+y°-2tx+4ty+6"-1=0 の中心P
O
6.226[)
