基本例題 244 面積の最大 最小 (1)
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EN 0000
点 (12) を通る直線と放物線y=x2 で囲まれる図形の面積をSとする。 Sの
小値を求めよ。 136230353.100236
基本236
指針▷点 (1,2) を通る直線の方程式は,その傾きをmとすると, y=m(x-1) +2 と表される
まず,この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標α, βでSを表す。
このとき,公式f(x-a)(x-B)dx= -1/12 (B-α)が利用できる。
更に, Sをの関数で表し, m の2次関数の最小値の問題に帰着させる。 3%
-
解答
点 (1, 2) を通る傾きmの直線の方程式は
y=m(x-1)+2
①
と表される。
直線 ① と放物線y=x2 の共有点のx座標は、方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0
!
......
の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)²+4
常に D > 0 であるから, 直線 ① と放物線y=x2 は常に異なる
2点で交わる。
その2つの交点のx座標をα, β(α<β) とすると
s=S{m(x-1)+2-x*}dx=-f(x-mx+m-2)dx
=-f(x-a)(x-B)dx=1/12 (B-α)
m+√D__m=√D
また B-α=-
=√D=√(m−2)² +4
したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき
(B-α)”も最小であり,Sの最小値は 1/12 (14)-1/3
検討 B-αに解と係数の関係を利用
01-10-てよい。
7-s-, dar
CO
.........
YA y=x21
x=
(1,2)
S
a0
ly=m(x-1)+2
点 (1, 2) を通りx軸に垂直
な直線と放物線y=x2で囲
まれる図形はない。よって,
x軸に垂直な直線は考えなく
1118
m²-4m+8=D
B
α, βは2次方程式
x2-mx+m-2=0の解で
m± √m²-4m+8
2
RY
