数学
高校生
解決済み

数II積分
線で引いたところはどの計算から出てきたのですか?

基本例題 244 面積の最大 最小 (1) ・ EN 0000 点 (12) を通る直線と放物線y=x2 で囲まれる図形の面積をSとする。 Sの 小値を求めよ。 136230353.100236 基本236 指針▷点 (1,2) を通る直線の方程式は,その傾きをmとすると, y=m(x-1) +2 と表される まず,この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標α, βでSを表す。 このとき,公式f(x-a)(x-B)dx= -1/12 (B-α)が利用できる。 更に, Sをの関数で表し, m の2次関数の最小値の問題に帰着させる。 3% - 解答 点 (1, 2) を通る傾きmの直線の方程式は y=m(x-1)+2 ① と表される。 直線 ① と放物線y=x2 の共有点のx座標は、方程式 x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0 ! ...... の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると D=(-m)-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)²+4 常に D > 0 であるから, 直線 ① と放物線y=x2 は常に異なる 2点で交わる。 その2つの交点のx座標をα, β(α<β) とすると s=S{m(x-1)+2-x*}dx=-f(x-mx+m-2)dx =-f(x-a)(x-B)dx=1/12 (B-α) m+√D__m=√D また B-α=- =√D=√(m−2)² +4 したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき (B-α)”も最小であり,Sの最小値は 1/12 (14)-1/3 検討 B-αに解と係数の関係を利用 01-10-てよい。 7-s-, dar CO ......... YA y=x21 x= (1,2) S a0 ly=m(x-1)+2 点 (1, 2) を通りx軸に垂直 な直線と放物線y=x2で囲 まれる図形はない。よって, x軸に垂直な直線は考えなく 1118 m²-4m+8=D B α, βは2次方程式 x2-mx+m-2=0の解で m± √m²-4m+8 2 RY

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