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130 では交わらないn個の円がある。これらの円によって, 平面は何個の部分に分け
平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり, また, 3つ以上の円は同一の点
ここか(2)(n-1)本の直線が(1)の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる
n本の直線によって an個の領域に分けられているとき, (n+1)本目の直線を引くと
平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。次の場合、
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O0000
基本 例題130 図形と漸化式(1) … 領域の個数
n
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1)どの2本の直線も平行でないとき。
2) n(n22)本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
(類放賀大
n=3
a2=4(図の D,~ D.)であるが, ここで直線 ls を引くと,laは
l, leと2点で交わり,この2つの交点で lsは3個の線分また
は半直線に分けられ, 領域は3個(図の Ds, De, D:)増加する。
指針>(1) n==3 の場合について, 図をかいて考えてみよう。
D。
D、
D。
D。
D。
また。
D。
よって
as=Q2+3
a=7
よって
同様に,n番目と (n+1)番目の関係に注目 して考える。
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
n
から(n-2)個の点で交わり, (n-1)個の領域が加わる。
解答
(1) n本の直線で平面が an 個の領域に分けられているとする。
(n+1)本目の直線を引くと, その直線は他の n本の直線で
(n+1)個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1) 個
だけ増加する。ゆえに
(n+1)番目の直線はn本
の直線のどれとも平行でな
いから,交点は n個。
an+1=an+n+1
また
よって
an+1-an=n+1
a=2
数列 {an}の階差数列の一般項はn+1であるから, n>2の
an=2+(R+1)=2+n+2
2
n-1
n-1
n-
n-1
とき
イ(R+1)=2&+1
k=1
k=1
R=
k=1
これは n=1のときも成り立つ。
(n-1)n+n-1
2
|2)0
ゆえに,求める領域の個数は
n°+n+2
2
(2) 平行な2直線のうちの1本をlとすると,lを除く(n-1)
本は(1)の条件を満たすから, この (n-1)本の直線で分けら
れる領域の個数は (1)から
更に,直線を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の
直線と(n-2)個の点で交わり, (n-1)個の領域が増える。
よって,求める領域の個数は
an-1
(1)の結果を利用。
-+ (n-1)=ガ+n
2
(an-1は,(1)の anでnの
代わりにn-1とおく。
an-1+(n-1)=
2
練習
の
n
られるか。
