て本の直線がある。次の場合、
(2)(n-1)本の直線が(1)の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる
130 では交わらないn個の円がある。これらの円によって, 平面は何個の部分に分け」
領域の個数
O0000
582
基本 例題130 図形と漸化式 (1)
平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない, n
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
M2) n(n22)本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
(類協賀大
1=3
a2=4(図の D,~ D.)であるが,ここで直線 ls を引くと,sは
b, leと2点で交わり,この2つの交点で lsは3個の線分また
は半直線に分けられ, 領域は3個(図の Ds, De, D,)増加する。
指針>(1) n=3の場合について, 図をかいて 考えてみよう。
D。
D
D。
D。
D。
a-7
D,
また、
よって
a3=Q2+3
同様に,n番目と(n+1) 番目の関係に注目 して考える。
n本の直線によって an個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引と。
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
よって
これを
ここから
から(n-2)個の点で交わり,(n-1)個の領域が加わる。
解答
(1) n本の直線で平面が an個の領域に分けられているとする。
(n+1)本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直線で
(n+1)個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1)個
だけ増加する。ゆえに
4(n+1)番目の直線はn本
の直線のどれとも平行でな
いから,交点はn個。
an+1=antn+1+(1+)
よって
an+1-an=n+1
また
Q=2
数列 {an} の階差数列の一般項はn+1であるから, n>2の
n°+n+2
キリ-
n-1
(k+1)=2&+2
n-1
とき
an=2+2(k+1)=
2
k=1
k=1
これは n=1のときも成り立つ。
(n-1)n+n-1
ミ
n'+n+2
ゆえに,求める領域の個数は
2
(2) 平行な2直線のうちの1本をlとすると,lを除く(n-1)
本は(1)の条件を満たすから, この(n-1)本の直線で分けら
れる領域の個数は(1)から
更に,直線を引くと,lはこれと平行な1本の直線以外の
直線と(n-2)個の点で交わり, (n-1)個の領域が増える。
よって, 求める領域の個数は
an-1
(1)の結果を利用。
(an-1は、(1)の anでnの
代わりにn-1とおく。
n'+n
an-1+(n-1)=
+(n-1)=
2
2
練習
られるか。
理解出来ました！
ありがとうございます！