を満たすよう
x.
(2) f(x)=(x-a)(x-c)+(x-b)^ とす
ると, a<b<c であるから
f(a) = (a-b)">0
f(b)=(b-a) (b-c) <0
f(c) =(c-b)">0
また,f(x) の2次の係数は2で,
+
bB
←b-a>0,b-c<0
a
T
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, 方程式
f(x) =0は2つの実数解α, β をもち, α<B とするとき
a<a<b<B<c
3章
EX
[2次関数]
EX k を正の整数とする。 5n-2kn+1 < 0 を満たす整数nが, ちょうど1個であるようなkの値を
93
すべて求めよ。
5n2-2kn+1<0
①とし, f(x)=5x2-2kx+1とする。
f(n) <0 を満たす整数n が存在するとき, y=f(x) のグラフは
x軸と異なる2点で交わるから, f(x) =0の判別式をDとする
と
D>0
D=(-k)2-5.1=k2-5であるから
[ 一橋大]
←y=f(x) のグラフはx
(軸のx<nの部分と
k²-5 0
4
すなわち
k>5
kは正の整数であるから
k≥3
[1] k=3のとき
f(x)=5x2-6x+1=(5x-1)(x-1)
f(x) <0とすると,(5n-1)(n-1)<0から1/3 <n<1
よって, ①を満たす整数 n は存在しない。
[2] k=4のとき
f(x)=5x2-8x+1
グラフの軸の直線x = 1/3に最も近い整数は1で
f(0)=1>0,f(1)=-2<0,f(2)=5>0
大
xnの部分で交わる。
720
←k=1,2のとき24
[2] y
よって, ①を満たす整数nはn=1のみである。
-c< [3] k=5のとき
[3] y
f(x)=5x2-10x+1
グラフの軸は直線x=1で
f(0)=1>0, f(1)=-4<0, f(2)=1>0
よって, ①を満たす整数n は n=1のみである。
[4] k≧6のとき
f(1)=2(3-k)<0, f(2) =21-4k < 0
よって, ①を満たす整数nは2個以上ある。
k=4, 5
[1]~[4] から, 求めるkの値は
10
2x
1
+
1
2
x
