演習 例題 128 2つの放物線の共有点
次の2つの放物線は共有点をもつか。 もつ場合はその座標を求めよ。
(1) y=x2, y=-x2+2x+12
(2)y=x²-x+1,y=2x²-5x+6
(3) y=x²-x, y=-x²+3x-2
指針
と y=a'x2+bx+c の共有点のx座標は, y を消去して得
2つの放物線y=ax2+bx+c
解答
られる方程式 ax2+bx+c=a'x'+b'x+c...... (*) の実数解で与えられる。·····
(*) が実数解をもたないとき, 2つの放物線は共有点をもたない。
CHART グラフと方程式 共有点⇔実数解
y=x2
(1)
y=-x²+2x+12 ･･････ ②
①, ② からyを消去すると
整理すると
x2-x6=0
よって (x+2)(x-3)=0
ゆえに x=-2,3
①から x=-2のときy=4,x=3のときy=9
したがって 共有点の座標は (-2,4),(3,9)
y=x2-x+1 ...... ①
(2)
y=2x²-5x+6 ...... ②
①, ② からyを消去すると
よって
x²-4x+5=0
2次方程式x²-4x+5=0の判別式をDとすると
武の
2=(-2)^-1･5=-1
******
とする。
x2-2x+1=0
(x-1)²=0
x2=-x2+2x+12
D<0であるから,この2次方程式は実数解をもたない。
したがって、2つの放物線①②は共有点をもたない。
|y=x2-x
①
(3)
y=-x²+3x-2 ･･････ ②
①, ② からyを消去すると
整理すると
よって
ゆえに
x=1
したがって, 共有点の座標は
とする。
x2-x+1=2x²-5x+6
x-x=-x2+3x-2
とする。
このとき, ①から
(1,0)
00000
y=0
p.198 基本事項①
(1)
y₁
/①
(2)
ya
12
Vy
5
x
(3) y
que
< (3) のように,yを消去して
得られた2次方程式が重解
をもつとき, 放物線①と
②は接するという。
199
3章
14
2次関数の関連発展問題
