例題 109 方程式の解の存在範囲[1]
xについての2次方程式x-2ax-α+2=0が次のような解をもつと
き,定数aの値の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの正の解
(3) 符号が異なる2つの解
思考プロセス
問題の言い換え
(1) ⇒y=
1
(3)
共有点をもつ。
⇒y=
のグラフがx軸と x>0 の部分で異なる2つの
のグラフについて
[[1] x軸と異なる2つの共有点をもつ
{[2] 軸がx>0 の部分にある
[[3]x=0 における y座標が正
y=
で共有点をもつ。
D
4
(2) 異なる2つの3より小さい解
リアテーブ
のグラフがx軸とx<0 の部分と x>0 の部分
のグラフについて, x=0 におけるy座標が負
Action» 解の存在範囲は, 判別式・軸の位置・端点のy
解 f(x)=x2-2ax - a +2 とおく。
(1) 方程式 f(x)=0 が異なる2つの正解をもつための
条件は, y=f(x)のグラフがx>0 の部分でx軸と異
なる2つの共有点をもつことである。
よって,次の [1]~[3] がすべて成り立つ。
[1] x軸と異なる2つの共有点を
もつから、f(x)=0 の判別式を
Dとすると D > 0
=(− a)² − (−a+2)
[3] f(0)>0であるから
f(0) = -a+2>0
=a+2
+
U 201
+
a
(a +2)(a-1) > 0
... 1
よって<2
... (3)
①〜③ より 求めるαの値の範囲は
012
1<a<2
・座標から考えよ
48
=a²+a-2
よって, d+α-2 >0 より
ゆえに
a<-2, 1<a
[2] 軸が x>0 の部分にある。
○実y=f(x) の軸は直線x=4であるから=(x) 放物線y=ax²+bx+c
Actions
a>0
･②
b
の軸は直線x=
2a
f(x) を平方完成して考
0
V
A
(8)
(1
(x)
y=f(x)のグラフは下に
凸の放物線である。
S2x2S- (A)
3182X28-
えてもい
af(x)=(x-a)²− a² − a +²
より, 軸は直線 x = d
