(2)の問題は特性方程式の解が1と2であることを利用して、写真のように解くのは大丈夫ですか？ちょっと雑ですみません。

530 第8章 数 (1) an+2-2am+1-15a,=0 ……① が an+2-ean+1=B(an+1- aan)……2と変形で *ル-1 bn=dn+1-an とおくと,数列{bn}は数列 {an} の (1より =0 列 Unt 3 漸化式と数学的帰納法 Check 531 例 題 300 隣接3項間の漸化式 (1) 2-3an+1+2an 0より、 an+2-an+i=2(an+1-an) ..の 次のように定義される数列 {an}の一般項 an を求めよ。 (1) a=1, az=2, an+2-2an+1-15am=0 (2) a=3, az=5, an+2-3am+1+2an=0 (x-1)(x-2)3D0 より、x=1, 2 階差数列であり,②より, a=1, B=2 で考える。第8章 bn+1=2 b。 つまり,数列(bn} は、 初項 b=a2-a=5-3=2 公比 2 考え方(A) 特性方程式の解 a, BがαキB となる場合(p.529)である の等比数列であるから, bn=2-27-1 きたとする。 2より, antaー(a+B)an+1taBa,=0 bn=2" とできるが, [a=-3 {8-5 これより, a+8=2, aB=-15 だから, | anta+3an+i=5(an+1+3am) lamtz-5am+1=ー3(an+1-5am) または Q=5 したがって, n2のとき, -1 B=-3 こb。を計算するので an=a」+E。 =1 k=1 bn=2-2"-1 のままの方 が間違いが少なくなる。 {an} の階差数列{ba n22 のとき よって,2より, 1-1 =3+ 22-2*-1 これより,一般項 anを求めればよい。 (2)(A) aキ8 において, とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, k=1 2(2"-1-1) ag+2-3am+1+2an=0 は, an+2-Cn+1=8(an+1-an) 数列(a+-)は(a)の階差数列である。 =3+ {a)の階差数列 2-1 =3+2(2"-1-1) =2"+1 -1 an=a+ 2b。 {an+1-a) となり、 (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう。 =1 n=1 のとき, a=2'+1=3 となり成り立つ。 m n=1 のときを確認 よって, an=2"+1 ュ-15am=0 Tan+3a のより x-2x-15=0 w 解答 (aneit3an) (x+3。 E Rocus

隣接三項間漸化式で、黄色の線を引いた所は、覚えるしかないですか？ その公式ってどうやってだしてますか？

よって,漸化式 an+2+ pan+1+qan=0 と a1, a2が与えられたとき 2次方程式 x°+px+q=0 が異なる2つの解 a, βをもつならば、瀬 発展 隣接3項間の連斬化式 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めてみよう。 a=1, az=4, an+2-5an+1+6an=0 この漸化式は,次の2通りに変形することができる。 の an+2-2an+1=3(an+1-2an) 5 2 an+2-3an+1=2(an+1-3an) のより,数列 {an+1-2an} は公比 3,初項 a2-2a, =2 の等比数列で あるから 550 3 an+1-2an=2·37-1 十) のより,数列{an+1-3an} は公比2,初項 a2-3a, =1 の等比数列で 10 あるから An+1-3an=27-1 の 3-のから an=2·3"-1-2"-1 よって,数列{an} の一般項は,漸化式 an+2-5an+1+6an=0 を①. 15 2の形に変形することによって求められる。 一般に,漸化式an+2+ pan+i+ qan=0 において, p=-(α+B), q=cB である a, βを用いると, この漸化式は次のように変形すること ができる。 An+2-Uan+1 =B(an+1-Qan) の an+2- Ban+1 = α(an+1- Ban) p=-(α+B), q=aβ である2数 α, Bは、 解と係系数の関係により。 20 2次方程式 x°+x+q=0 の解として求めることができる。 よって,漸化式 an+2+ pan+1+qan=0 と a. deが与えられたと 2次方程式 x°+x+q=0 が異なる2っの解a. Bをもつならは、 25 式をO, ②' の形に変形して一般項 an を求めることができる。

なぜ紫下線部のように２つの式で答えを導くのですか？ また、an、an +1、an +2のように不等式が3つあったとき、中心の数を分解するのは鉄則ですか？

- 54 第4章 極限 例題 19/次の条件によって定められる数列{an} の極限を求めよ。 a=1, az=2, 5an+2=6an+1-an (n=1, 2, 3, …) 漸化式(隣接3項間)と極限 pan+2+qan+1+ran=0 において, px?+qx+r=0 の2つの解をa, Bとすると an+2-2an+1=8B(an+1-can), an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) と変形できる。 指針 与えられた漸化式を変形すると an+2-an+1=(an+1-an) 解答 したがって, 数列 {an+1-an}は初項 a2-a=1, 公比一の等比数列である。 1n-1 よって an+1-an 1 また an+2" 50n+1=an+1 an 5 ゆえに 1 an=a2 9 2 an+1 5 0.のより 吉の一一(4) --0- したがって a ()) 1 n-1 9 an 5 5[9 415 5 5 5/9 4\5 9 ゆえに lim an 4 参考 ①より, {an} の階差数列の一般項 bn は bn= 5 三 I-u n-1/1 \k-1 よって, n>2 のとき an=ai+> k=15 5 lim an=1+ 9 (1-0) 4 ゆえに n→o

（２）で、t が n−1 乗になる理由がわかりません

2014 北海道大学(文系)前期日程 問題 2 解答解説のページへ 次の条件で定められる数列{a}を考える。 a=1, a2 =1, an+2 = an+1 + 3a,(n=1, 2,3,…) (1) 以下が成立するように,実数 s, t(s>t)を定めよ。 an+2 - San+1 ={(an+1 - Sam) an+2 -tan+1 =s(an+1 -ta,) (2) 一般項a,を求めよ。 2014 北海道大学(文系)前期日程 問題

数Bの隣接三項間漸化式の問題です。 [練習2]の解き方が全く分かりません💦 解説をお願いしますm(_ _)m

数列であるから のより、数列(an+j-3an} は公比-2, 初項 azー34,=1 の等 比数列であるから 会判で an++2a,= 3"-1 4 an+1-3a,= (12)”ー1 の-のから 5an= 3"-1-(-2)”-1 すなわち an 5 練習/1 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 15 (1) a=0, a2=1, an+2-7an+1+10a=0 (2) a=1, a2= 3, an+2-3am+1+2am=0 練習/2 次の条件によって定められる数列 {a) がある。 a=0, aa= 2, an+2-4am+1+4a。=0 20 (1) an+1-2am=2" であることを示せ。 An (2) = bn とする。 an+1-2am= 2" の両辺を2*+1 で割ることによ 2" って、数列(b}の漸化式を導き、 (ba}の一般項を求めよ。 (3) 数列 (an}の一般項を求めよ。

次の条件により定められる数列{an}の一般項と極限を求めよ、という問題で答えは一致したのですが、解説と解法が違いました。隣接3項間の解き方でもOKですか？添削お願いします🙇‍♀️

(2) Q1に1.05=2、 2ant2- 4atl tan= 0 3aい42-40n4i +an=0より 2ン4&4le 0 (381)(x1)0 anelcs an -の E Anea- anel す(antl- an 110unt -san) は初費 0o-4aie 等. 公地 1の等化教列 Dutlesan を 3 色 10mm1-Rn)は 初項 a2-ar e | 公比 寺の等比数列 Duel - Qu = 1埼)- On Im Dae Jhom 条(4).,

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,). 指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、 上め ニx+6を解くと、 572 an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに 基本 例題123 隣接3項間の漸化式( 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ OO00 基本 次の寺 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 p.571 基本事項 2解を、Bとすると, αキBのとき 針> が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると につ an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比 の, ゆ (x+2)(x-3)=0から の x=-2, 3 α=-2, B=3として掛 のAを利用。 数列であるから an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 3 比数列であるから an+1-3an=(-2)"! の がS 3-4から 5a,=3"-1-(-2)"-1 1 an= 5 |an+1 を消去。 る したがって ute TSanti= antレ-San an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=Qi+2(-5)*-!=1+ k=1 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=Qn+ +50« よって an+i+5am 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a+5a=l はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7を変形し、 したがって a,=17-(-5)"-"} an+1- から a

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？その違いを教えてください🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1==B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,) (p.571 基本事項I(0,、 ニx+6を解くと, an+2-an+1=ー5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まないから, ② を用いて 2通りに 指針> まず,an+2 をx?, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を解く 572 O000 基本 例題123 隣接3項間の潮化式リ (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 指 2解を8とすると, αキBのとき が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると とにつ の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) 0より,数外{an++2am} は初項 a2+2a1=1,公比3の等比 (x+2)(x-3)=0から x=-2, 3 α=-2, B=3として福 an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 比数列であるから ant1-3an=(-2)"- 5a,=3"-1-(-2)"1 数列であるから ののを利用。 3-の から lan+1 を消去。 て Sさで 1 anミ 5 したがって San Gute TSaariに antに an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列 {an+1一an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-an=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=Q;+2(-5)*-!=1+ 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=&n+ +5 よって an+i+5am k=1 三 され 6 =an+5an-1 n=1を代入すると, (7-(-5)}=1であるから, 上の式 =……=0a+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5am=7を変形し an+1- 6 --ロー(-)) したがって an {7- から a,=1-(- 意

(2)の漸化式はなぜ一つだけなんですか？2つではいけないんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

572 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an 基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1) p.571 基本事項] 重要133 (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 2解を α, Bとすると, αキBのとき an+2-aan+1=B(an+1-aam), an+2-Ban+1=«(an+1-Ban) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A し,等比数列{an+1+2an}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 一5→解に1を含む から, 漸化式は an+2-Cn+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 解答 (1) 漸化式を変形すると x=x+6 を解くと, (x+2)(x-3)=0 から x=-2, 3 Q=-2, B=3 として指針 ののを利用。 の, an+2+2an+1=3(an+1+2am) an+2-3an+1=2(an+1-3an) Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比 数列であるから 2より,数列{an+1-3an} は初項 a2-3a,=1, 公比 -2の等 比数列であるから an+1-3an=(-2)" 3-のから は、一の an+1+2an=3"ー1 3DD 4 5am=3"-1-(-2)”-1 an+1 を消去。 したがって tュ= 3"-(-2)"1} (2) 漸化式を変形すると ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 az-a:=2-1=1, 公比 -5 の等比数列であるから よって, n>2のとき an+2 -5(an+1-an) イx+4x-5=0を解くと, (x-1)(x+5)=0から an+i= an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=a,+2(-5)ー!_1+ k- 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=an+1+5an よって an+1+5an k=1 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1 であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a2+5a=7 はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7 を変形し, 7 an 6 an+1- したがって {7- から a,=ロー(-3) 練習 次の条件によって定められる数列 {an)の一般頂をめ上

(2)の漸化式はなぜ一つだけなんですか？2つではいけないんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

572 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an 基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1) p.571 基本事項1 重要133 (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 2解を α, Bとすると, αキBのとき an+2-Can+1=B(an+1-aan), an+2-Ban+1=α(an+1-Ba,) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A し,等比数列 {an+1+2an}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は an+2-an+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 解答 5野 x=x+6を解くと, (x+2)(x-3)=0 から x=-2, 3 α=-2, B=3 として指針 のAを利用。 (1) 漸化式を変形すると の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比 (2 数列であるから an+1+2an=3*ー1 3 bD 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1, 公比 -2 の等 比数列であるから an+1-3an=(-2)" 3-の から 5a,=3"-1-(-2)"-1 an+1 を消去。 したがって anミ (2) 漸化式を変形すると ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 a2-a1=2-1=1, 公比 -5 の等比数列であるから よって, n>2のとき an+2-Qn+1=ー5(an+1-an) (x°+4x-5=0を解くと (x-1)(x+5)=0から an+1-Qn=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=a,+2(-5)*ー1_1+ k- 別解 漸化式を変形して k=1 an+2+5an+1=an+1+ よって an+1+5an =an+5an-1 n=1を代入すると,(7-(-5)"}=1であるから, 上の式 =……=a2+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7 を変形し 4.=17-(-5)-) 7 an+1 6 an したがって から 4,=ロー(-