a=2, an+1=4arで定義される数列 {an} の一般項 an を求めよ。
第8。
考え方 漸化式が an+i や aなどの累乗の場合や, anに がついている場合, an+1Qn のよ
うな積の場合は、両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。
ここでは, arの係数 4(3D2") に着目して,底が2である対数を両辺にとると,
log2an+1=loga(4a,)=log24+1og2an°より,
21og.an+1=2+31og2am
ここで, logaan= bn とおくと, 26n+1=36,+2 となり,例題291の形の漸化式となる。
解答 a=2>0, an+i°=4a,° より,すべての自然数nに対して,
an>0
an+i?=4a,について, 底2で両辺の対数をとると,
log2an+1°=log24a,
21og2an+1=log24+31og2Qn より,
21og2an+1=31og2Qn+2
log2an= bn とおくと,
下の注》参照
26n+1=36,+2
したがって, bn+1=;6n+1 より,これを変形すると,
3
bn+1+2=;(bn+2) …①
特性方程式
2
ここで、
3
b+2=log2a」+2=log22+2=3
のと +2=3 より,数列 (bn+2}は, 初項3, 公比
2=+1 を解くと,
の
Q=-2
等比数列だから,一般項は,
32-1
bn+2=3(2)
すなわち,
3"
bn=
27-1
3"-27
2=
27-1
3"-2"
27-1
37-27
よって, bn=log2an=
より、
an=227-1
Focus
漸化式 an+1°=かa" は両辺の対数をとる
注)「a=2, an+i°=4a,° のとき, すべての自然数について an>0」について,
a2=4a,°=4·2°=32 より, az=±4/2
仮に a2=-4/2とすると, af=4a"<0 となり,矛盾する。
よって, az>0 で, 同様にすると, すべての自然数nに対して, an>0がいえる。
1
(1) a=1, an+1=
-a で定義される数列 {an} の一般項 an を求めよ.
V2
