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重要 例題45)因数分解ができるための条件
O{O
2+3xy+2y?-3x-5y+k がx, yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k
の値を求めよ。また,その場合に,この式を因数分解せよ。
ら,46
【東京薬大)
基本 44
こと、
4 (S)
指針>与式がx, yの1次式の積の形に因数分解できるということは,
(与式)=(ax+bytc)(x+qy+r)|
2章
の形に表されるということである。恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで
は,与式をxの2次式 とみたとき, 30 とおいたxの2次方程式の 解がッの1次式 で
なければならないと考えて,kの値を求めてみよう。
ポイントは,解がyの1次式であれば, 解の公式における、 内がyについての 完全平
方式[(整式)の形の整式] となることである。
9
解答
P=x°+3xy+2y?-3x-5y+kとすると
P=x°+3(y-1)x+2y?-5y+k」
P=0 をxについての2次方程式と考えると,解の公式から
-)(ロー
イx°の係数が1であるから,
xについて整理した方がら
くである。
-3(y-1)土/9(y-1)-4(2y°-5y+k)
X=
2
-3(y-1)±Vy?+2y+9-4k
大分 この2つの解をα, Bとす
ると,複素数の範囲で考え
て P=(x-α)(x-B)
と因数分解される。
完全平方式
→ =0 が重解をもつ
→判別式 D=0/O
三
2
Pがx, yの1次式の積に因数分解できるためには,この解がy」
の次式で表されなければならない。
のよって,根号内の式 y?+2y+9-4k は完全平方式でなければな
らないから,y°+2y+9-4k=0の判別式をDとすると
D
ー=12-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに
k=2
5)
よ4
_3y+3±(y+1)
(20八0)0
十x(
V(o+1)° =ly+1|である
が,±がついているから,
y+1の符号で分ける必要
このとき
三
X=
2
他
x=-y+2, -2y+1
P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}
=(x+y-2)(x+2y-1)
すなわち
はない。
よって
求める問
解と係数の関係、解の存在範囲
