重要 例題 94
基本
91,35
についての不等式-(a+1)x+a<0,3x2+2x-1>0 を同時に満たす整数x
がちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。
〔摂南大〕
指針▷
不等式の左辺を見ると,2つとも 因数分解ができそう。
まず,不等式を解く。
なお,前者の不等式は,文字αを含むから,αの値によって場合を分ける。
数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めての条件を求める。
CHA
HART
連立不等式 解のまとめは数直線
解答
x²-(a+1)x+α < 0 を解くと (xa)(x-1)<0から
a<1のとき a<x<1]
a=1のとき 解なし
a>1のとき 1<x<a]
(1)
3x²+2x-1>0を解くと (x+1)(3x-1)>0から
x< -1, 1/32<x
(2)
① ② を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは
a <1 またはa>1 の場合である。
!
[1] a<1のとき
[1]
②
←a=1のとき, 不等式は
(x-1)20
これを満たす実数xは
存在しない。
実数 A に対し
A20 は常に成立。
A'≦0 なら A=0
A°<0 は 不成立。
3つの整数xは
よって
x=-4, -3, 2
-5≦a<-4
[2] α>1のとき
3つの整数xは
x=2,3,4
よって
4<a≦5
2章
11
-57-4-3-2-1011
01
a
'13
X
[2]2
1.
-101
2 3 4
←-5<a<-4 としないよう
に注意する。
a<x<-1の範囲に整数 3
つが存在すればよいから,
a=-5のとき
1
a
3
-5<x<-1となり条件を
満たす。
[1], [2] から, 求めるαの値の範囲は
-5≦a<-4,4<a≦5
[2]のα=5のときも同様。
検討
不等号にを含むか含まないかに注意
(解答編 p.75 参照)。 イコールが, つくとつかないとでは大違い!!
上の例題の不等式がー(a+1)x+a≦0, 3x+2x-1≧0となると,答えは大きく違ってくる
練習
94
xについての2つの2次不等式
x²-2x-8<0, x2+(a-3)x-3a≧0
糖 その値の範囲を定め
2次不等式
