(2)はなぜ、(9－1)！ ではダメなのですか？ ポイントの箇所の、「回転した時ほかの円順列と一致しないように、透明な玉1個を固定する」の意味がよく分かりません。

ガラスでできた玉で,赤色のものが6個,黒色のものが2個, 透明なものが のO) /1)これらを1列に並べる方法は何通りあるか。 12) これらを丸く円形に並べる方法は何通りあるか。 /2)これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。 1章 3 基本 17, 重要21 CHART( (2) 回転したとき他の円順列と一致しないように, 透明な玉1個を固定する。 (3) じゅず順列の総数を求める問題。 次のように分けて考える。 O SOLUTION 「左右対称である円順列」 と「左右対称でない円順列」 裏返すと 裏返すと 自分自身 自分以外 の円順列 解答 9 (1) 1列に並べる方法は 9.8.7 -=252 (通り) 同じものを含む順列。 合館 6!2! 2-1 (2) 透明な玉1個を固定して,残り8個 を並べると考えて 8! 8.7 -=28 (通り) 合赤玉6個,黒玉2個を1 列に並べる場合の数。 6!2! 2.1 (3)(2)の 28通りのうち, 右下の図の ように左右対称になるものは inf. 解答編p.216にすべ てのパターンの図を掲載し た。左右対称でないものは, 裏返すと一致するものがペ アで現れることを確認でき るので参照してほしい。 4通り よって,左右対称でない円順列は 28-4=24(通り) この24通りの1っ1つに対して,裏 返すと一致するものが他に必ず1つ ずつあるから,首輪の作り方は 24 4+=16 (通り) 2

3a+b=9 −a+b=1 の求め方を教えてください🙏🏻

基本例題 60 最大 最小から係数の決定 (2) OOO a>0 とする。関数 f(x)=ax2-2ax+6 (0Sx い3) の最大値が9,最小値 が1のとき,定数 a, bの値を求めよ。 |基本 59 CHART SOLUTION 2次関数の最大·最小 基本形 y=a(x-b)+q で考える 軸の位置が決め手 a>0 であるから, グラフは下に凸の放物線で, 軸は直線 x=1 軸から遠い定義域の端(x=3) で最大,頂点で最小。 解答 f(x)=ax°-2ax+b 軸 やまず, 平方完成し, 基本 3章 =a(x°-2x)+6 =a(x°-2x+12_12)+6 =a(x-1)?-a+6 (0<x<3) y=f(x) のグラフは右の図のようにな り, x=3 で最大,x=1 で最小となる。 「f(3)=3a+b=9 Lf(1)=-a+b=1 形に変形。 最大f(3) 8 f(O) 最小(1) →頂点は点(1, -a+b), 軸(x=1) は定義域内の 左寄り。 ←軸から遠い端 したがって -頂点 これを解くと これは, a>0 を満たす。 a=2, b=3 合aの条件の確認 INFORMATION a>0 の条件がない場合 上の例題で「a>0」という条件がない場合は, x° の係数aのとる値によって, グラフ の形が変わってくる。 a=0(直線), a<0(上に凸の放物線)の場合も考える必要があ る。→か.117 EX 62参照。 a=0 のとき,f(x)=D6(一定) となり条件を満たさない。 a<0 のとき, y=f(x) のグラフは右の図のようになり, x=1 で最大, x=3 で最小となる。 [a<0] 最大(1) f(O) よって f(1)=-a+b=9, f(3)=3a+b=1 これを解いて a=-2, b=7 これは a<0 を満たす。 以上により,上の例題で「a>0」という条件がない場合, 答えは a=2, 6=3 または a=-2, b=7 となる。 最小(3) 軸 PRACTICE…60° a>) とする。関数 f(x)=ax°-4ax+6 (1Sx<4) の最大値が4,最小値が-10 2次関数の最大最小と決定

数2の三角関数についてです 赤線のところがなぜそうなるのかがわかりません 細かい解説がほしいです よろしくお願いします( . .)"

193 重要例題 126 三角方程式の解の個数 aは定数とする。0<0<2π のとき,方程式 sin'0-sin0=aについて (1) この方程式が解をもつためのaのとりうる値の範囲を求めよ。 (2) この方程式の解の個数をaの値によって場合分けして求めよ。 基本 125 CHARTO SOLUTION 方程式 f(0)=a の解 2つのグラフ y=f(0), y=a の共有点 sin0=k (0S0<2π) の解の個数 々=±1 で場合分け ! 0の個数は k=±1 のとき 1個,-1<k<1 のとき 2個 k<-1, 1<k のとき 0個

CHART＆SOLUTIONに書かれている文章の意味が分かりません。 解説をお願いします🙏🏻´-

08 基本例題 6.5 最大·最小の文章題 (2) OOOO0 座標平面上で,点Pは原点0を出発して, x軸上を毎秒1の速さで点 (6, 0) まで進み,点Qは点Pと同時に点 (0, -6) を出発して, 毎秒1の速さで原点 0まで進む。この間に P, Q間の距離が最小となるのは出発してから何秒後 か。また,その最小の距離を求めよ。 基本 64 CHART OS OLUTION Vf(x) の最大· 最小は f(x)の最大 最小を考える を秒後のP, Q間の距離をdとすると, 三平方の定理から d=/f(t) の形にな る。ここで d>0 であるから, d=f(t) が最小のときdも最小となる。

(2)が分かりません。 分かる方教えてくれると嬉しいです🙏🏼

OO000 272 基本例題 25 四角形の個数と組合せ 右の図のように,5本の平行線と, それらに直交する 5本の平行線が, それぞれ両方とも同じ間隔a(a>0) で並んでいる。この 10本の直線のうちの4本で囲ま れる図形について, 次の問いに答えよ。 (1)長方形(正方形を含む)は全部で何個あるか。すま行 (2) 正方形は全部で何個あるか。 基本23 田 3人0 っbada CHART OSOLUTION 四角形の個数と組合せ い tie 長方形なら縦,横2本ずつの直線の組合せ 12sる 基本例題 23 と同様に, 図形 (長方形, 正方形)の決まり方に注目する。 正方形を含めて, 長方形は縦の2辺と横の2辺で1つ決まる。 よって,縦2本の直線の選び方が m 通り, 横2本の直線の選び方がn通りならば、 長方形の総数は, 積の法則 から m×n通り。 (2) 1辺の長さがa, 2a, 3a, 4aの4つの場合に分ける。 解答 (1) 4本で囲まれる長方形は, 縦,横2本ずつの直線の組合せ ||| でできるから,求める個数は ( =10°=100 (個) 2-1, コ(2) 縦, 横それぞれ5本の直線を用いてできる正方形は [1] 隣り合う2本の直線で, 1辺の長さがaの正方形 [2] 1本おきの2本の直線で,1辺の長さが2aの正方形 [3] 2本おきの2本の直線で, 1辺の長さが3aの正方形 [4] 3本おきの2本の直線で, 1辺の長さが 4aの正方形 ゆえに,それぞれの正方形の個数は [1]の場合 4×4=16 (個) [3]の場合 2×2=4(個) よって,求める正方形の個数は (2)1辺の長さで場合を分 けて考える。 [1] 縦の隣り合う2本の 直線と,横の隣り合う2 本の直線でできる正方形。 [2] の場合 3×3=9(個) [4]の場合 1×1=1(個) !9 a 16+9+4+1=30 (個) A To日 和の法則

(１)の線を引いてるところが分からないです。 教えて欲しいです🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

本 例題 68 放物線の平行移動と方程式の決定 次の条件を満たす放物線の方程式を, それぞれ求めよ。 1)放物線 y=2x? を平行移動した曲線で, 2点(1, 1), (2, 0) を通る。 放物線 y=ーx°+2x+1 を平行移動した曲線で,原点を通り, 頂点が直 線y=2x-1 上にある。 基本 66,67 CHART SOLUTION 放物線の平行移動 平行移動によって の係数は不変 x*の係数はそのままで, 問題の条件により基本形または一般形を利用。 (1) 移動後の頂点や軸が与えられていないから, 一般形からスタート。 x°の係数は不変で2である。 (2) 頂点に関する条件が与えられているから, 基本形からスタート。 頂点(p, q)が直線 y=2x-1 上にある → g=2p-1 かつ 解答 S (1) 求める放物線の方程式を y=2x°+bx+c とする。」0 放物線が2点(1,-1), (2, 0) を通るから *頂点や軸の位置はわか らないから,一般形で 考える。 b+c=-3, 6=-5, c=2 26+c=-8 これを解いて よって, 求める方程式は 6 inf. x 軸との交点(2, 0) が含まれているので, 分解 y=2x°-5x+2 形 -2。 R)から

なぜ1以外に正の公約数をもたない自然数a、bを用いるのでしょうか。教えてください🙇🏻‍♀️

命題「nは整数とする。n°が3の倍数ならば,n は3の倍数である」は真で 75 OOOO0 公照「nは整数とする。n°が3の倍数ならば,n は3の倍数である」は育で 電木例題 43:V3 が無理数であることの証明 ある。これを利用して,V3 が無理数であることを証明せよ。 A基本 42 C 証明の問題 3が無理数でない(有理数である)と仮定する。このとき,/3=r(yは有現 数)と仮定して矛盾を導こうとすると,「V3=r の両辺を2乗して,3=」とな HART OSOLUTION 直接がだめなら間接で 背理法 2章 り、ここで先に進めなくなってしまう。そこで,自然数a, bを用いて3=4 (既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。… 6 (解答) 9、3 が無理数でないと仮定する。 このとき(3 はある有理数に等しいから,1以外に正の公約数 |既約分数:できる限り 約分して,aとbに1以 外の公約数がない分数。 inf] 2つの整数a, bの最 文の)どの 大公約数が1であるとき, aとbは互いに素である という(数学A参照)。(S) や下線部分の命題が真で あることの証明には対 をもたない2つの自然数 a, bを用いて,V3=と表される。 a=/36 a°=36° ゆえに 両辺を2乗すると よって,a° は3の倍数である。 dが3の倍数ならば、aも3の倍数であるから,kを自然数と して a=3k と表される。 これをOに代入すると の するようにし 偶を利用する。 9k°=36° すなわち 6=3k? O 150 よって,がは3の倍数であるから,bも3の倍数である。 ゆえに,aとbは公約数3をもつ。 これは,aともが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。 したがって,(3 は無理数である。 S-= ア

最小値のc+5の所の求め方が分かりません 教えてください🙏🏻🙏🏻

関数 y=-x°+6x+c (1<x<4) の最小値が1となるように, 定数cの欄 100 基本例題59 最大·最小から係数の決定(1) 80O00 を定めよ。また,そのときの最大値を求めよ。 基本。 CHART SOLUTION グラフ利用 頂頂点と端点に注目 最大·最小から係数決定 まず, 基本形に変形してグラフをかき, 軸が定義域のどの位置にあるかを確認+ る。1Sx<4における最小値を求め, (最小値)=1とおいたcの方程式を解く …g 解答 y=ーx°+6x+cを変形すると 最大 c+9 y=ー(x-3)?+c+9 右の図から,1ハxハ4 の範囲において 全頂点は点(3, c+9, c+8 軸(x=3) は定義域内の この関数は 1 1 右寄り。 x=3 で最大値 c+9 x=1 で最小値 c+5 をとる。 c+5F-4最小 1 全頂点 0 11 3 4x 全端 の最小値が1となるための条件は c+5=1 0(最小値)31 ゆえに c=-4 また, x=3 で最大値 c+9=5 をとる。 美の図は土二c=-4 を代入。 INFORMATION 2次関数のグラフ (放物線)は軸に関して対称 であるから 下に凸→軸から遠いほどyの値は大きい 上に凸→軸から遠いほどッの値は小さい 下に凸 上に凸 軸 軸 この例題のグラフは上に凸で, 軸 x=3 の位 放 で 高れめ よ 置は,定義域の中央である x=- 5 よりも右寄りにある。 2 よって, 両端のうち軸より遠い x=1 で最小となる。 このように考えれば, 実際にグラフをかかずに最大·最小を判断 することができる。 PRACTICE59 の解答編参照。

(2)の問題で、 nが19以上で、19／n が有限少数になることは絶対に無いのですか？

を小数で表したとき,整数部分が1以上の有限 基本例題 127 有限小数, 循環小数 438 1 を小数で表したとき,小数第50 位の数字を求めよ。 13 19 nは自然数とする。 n D.437 基本事項1 小数で表されるようなnは何個あるか。 CHART OSOLUTION 分数の分類 分数は,整数,有限小数, 循環小数のいずれかで表される (1) 分母の 13 の素因数は 13であるから循環小数になる。k個の数字が繰り汚」 現れるなら,50をんで割った余りに着目。 m (2) 既約分数 が有限小数で表される →nの素因数は 2,5だけからなる n また 有限小数Nの整数部分が1以上 = → N>1 を利用する。 解答 1 -=0.0769230……=0.076923 13 よって,小数点以下で 076923 の6個の数字が循環する。 0.0769230……を見て、 0076923 が循環すると早 合点してはいけない。 50=6·8+2 であるから,小数第 50位の数字は 076923 の2番目の数字 で7 である。 19 の整数部分は1以上であるから 19 n 整数は有限小数ではな n nは自然数であるから 分母nの素因数が2,5だけからなるとき, 有限小数となるか ら,0の範囲で素因数が2,5だけのものを求めると 2-5°=2, 2°-5°=4, 2°-5°=8, 2*.5°=16, 2°-5'=5, 2'·5'=10 よって, n=2, 4, 5, 8, 10, 16の 6個ある。 |1<n<19 の いから, 19 =1, 19 とな n るようなnは除く。 2°.5°の形の数で0を 満たすものを求める。 b=0, 1 に着目。

数Aです。 この(2)の解き方が分かりません。 どなたか分かる方教えてください🙏🏼

, A, P, A, N, E, S, Eの8個の文字全部を使ってできる順列について, 題 26 同じものを含む順列 OOOO0 P, A, N, E, S, Eの8個の文字全部を使ってできる順列について, 次のような並べ方は何通りあるか。 (1) 異なる並べ方 IはPより左側にあり,かつPはNより左側にあるような並べ方 新 p.266 基本事項2 CHART 同じものを含む順列 1 そのまま組合せの考え方で T OSOLUTION TO n! 2 公式 (カ+q+r+… =n) を利用 b!q!r! … ここでは,上の2 の方針で解く。 (2) まず, J, P, Nを同じ文字Xとみなして並べる。並べられた順列において, 3つのXを左から順にJ, P, Nにおき換えれば条件を満たす順列となる。 例:図A区AXESE と並べ, [JAPANESE とおき換える。一0 (1) 解答 1270) ) 8個の文字のうち, A, Eがそれぞれ2個ずつあるから す 8! 8.7-6-5-4·3 =10080(通り) *分母の1!は省略しても よい。 三 2.1 O 別解 8個の場所から2個のAの位置の決め方は 残り6個の場所から2個のEの位置の決め方は 残り4文字の位置の決め方は(4!通り 8C2 通り 十回の方針。 6C2 通り O 日さ O (S) 8.7、6-5 8C2×。C2×4!=2.1 2-1 よって -×4·3·2·1310080(通り) 積の法則。 (2) 求める順列の総数は, J, P, Nが同じ文字,例えばX, X, |別解 の方針で解くと Xであると考えて,3つの X, 2つの A, 2つの E,1つの Cs×,C2×,C2×1 8.7·6、5.4 3-2-1 Sを1列に並べる方法の総数と同じである。 -×3×1 2-1 8.7-6·5·4 2-1×2·1 よって 8! =1680 (通り) =1680(通り)