Question

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なぜ1以外に正の公約数をもたない自然数a、bを用いるのでしょうか。教えてください🙇🏻‍♀️

命題「nは整数とする。n°が3の倍数ならば,n は3の倍数である」は真で
75
OOOO0
公照「nは整数とする。n°が3の倍数ならば,n は3の倍数である」は育で
電木例題 43:V3 が無理数であることの証明
ある。これを利用して,V3 が無理数であることを証明せよ。
A基本 42
C
証明の問題
3が無理数でない(有理数である)と仮定する。このとき,/3=r(yは有現
数)と仮定して矛盾を導こうとすると,「V3=r の両辺を2乗して,3=」とな
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直接がだめなら間接で 背理法
2章
り、ここで先に進めなくなってしまう。そこで,自然数a, bを用いて3=4
(既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。…
6
(解答)
9、3 が無理数でないと仮定する。
このとき(3 はある有理数に等しいから,1以外に正の公約数 |既約分数:できる限り
約分して,aとbに1以
外の公約数がない分数。
inf] 2つの整数a, bの最
文の)どの 大公約数が1であるとき,
aとbは互いに素である
という(数学A参照)。(S)
や下線部分の命題が真で
あることの証明には対
をもたない2つの自然数 a, bを用いて,V3=と表される。
a=/36
a°=36°
ゆえに
両辺を2乗すると
よって,a° は3の倍数である。
dが3の倍数ならば、aも3の倍数であるから,kを自然数と
して a=3k と表される。
これをOに代入すると
の
するようにし
偶を利用する。
9k°=36°
すなわち
6=3k?
O
150
よって,がは3の倍数であるから,bも3の倍数である。
ゆえに,aとbは公約数3をもつ。
これは,aともが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。
したがって,(3 は無理数である。
S-=
ア

背理法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ら

有理数は『b/a』のように、既約分数で表すことが出来るので、『既約』→分母分子は互いに素とおけるわけです

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ありがとうございます！理解できました！