Question

rr

数Ⅲの定積分の置換積分,三角関数の置換積分の場合、x=sinθで置いたり、x=tanθで置いたりすると思うんですが、その時に定積分の範囲をxからθに変えるじゃないですか。例えば、x =3tanθと置く。次にxが-3から√3の範囲のものをθの範囲に変える。そしたら、x=-3のとき、tanθ=-1になるところまではわかるんですけど、tanθ＝-1って一つじゃないじゃないですか？x軸がマイナスになるときとy軸がマイナスになる時。でも、答えには、-π/4と書いてあって、なぜその一つに決まるのか教えていただきたいです。

数ⅲ 定積分 置換積分

Answer 1

和

たとえばx=tanθとおくなら、
この時点で、θはたとえば-π/2〜π/2に限定します
切れ目なく、θの値1つとxの値1つが対応して混乱がないからです

π/2〜(3/2)πとかでもいいですが、
θの値がいたずらに大きくなったり
複雑になったりして面倒そうですね

rr

ありがとうございます！
いかなるときもその範囲で考えられますか？sinにもそういう考え方は適応できますか？

和

tanは基本-π/2〜π/2で大丈夫でしょう

sin,cosはずっと連続なので、
-π〜πとかでもいいですが0〜2πとかもよく見ますね