数学1A青チャートの問題です。黄色の蛍光ペンで引いているところですが、AG‘：G‘M=AH：OMとなるのがどうしてなのか分かりません。是非どなたか教えて頂けるとありがたいです。

正三角形でない △ABC の重心G, 外心0, 垂心Hは一直線上にあって,重心は 重心外心垂心の関係 377 基本例題 72 p.370, 371基本事項1, 2), 4 DOO し心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から1:2に内分することを証明せよ。なお。 北本例題 71の結果を利用してもよい。 杉針>証明することは,次の[1], [2] である。 [11 3点G, O, Hが一直線上にある。 これを示すには,直線 OH 上に点Gがあることを示せばよい。それには, OH と中線 AM の交点をG’として,G' とGが一致することを示す。 』 [21 重心Gが線分 OH を1:2に内分する,つまり OG: GH=1:2をいう。 AH/OM に注目して,平行線と線分の比の性質 を利用する。 3章 10 解答 右の図において,直線 OH と △ABC の 中線 AM との交点をG’とする。 AHIBC, OMIBC より, AH/OM A (垂心、外心の性質から。 であるから AG':G'M=AH: OM 0。 TGiH 1 =2OM:OM B M C 基本例題71 の結果から。 =2:1 ZAM は中線であるから,G' は △ABCの重心Gと一致する。 よって、外心 0, 垂心H, 重心Gは一直線上にあり 外心,重心,垂心が通る直線 (この例題の直線 OH)を オイラー線 という。 ただし、 正三角形ではオイラー線は定 義できない。下の検討③参 照。 HG:OG=AG:GM=2: 1 『すなわち OG:GH=1 :2 三角形の外心,内心, 重心, 垂心の間の関係 0外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である(練習 72)。 2 重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習 70)。 3 正三角形の外心,内心, 重心,垂心は一致する(練習 71)。したがって, 正三角形ではオイ ラー線は定義できない。 2② AABC の辺 BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする。 △ABCの外心 練習 0は ALMN についてどのような点か。 72 p.382 EX48,49 O 三角形の辺の比、五心

黄色の線のところがわからないです🙇‍♀️ どのように式変形してるのですか？

AOAB の垂心とは AOABの各頂点から対辺に下ろした3つの垂線の交点 である。右の図のような△OAB において, 垂心をQとする。 Step 1 OQ = x0A + yOB (x, yは実数) とおく。 Step 2 ZAOQ=a, ZBOQ=B, 頂点Bから対辺 OA に下ろした垂線の足を C, 頂点 Aから対辺 OB に下ろした垂線の足をDとすると OQ-0A = |0Q||OA|cosa 0 B A = |OA||OC| =D OA·OB OQ-OB = |0Q|l|OB|cosβ |OB||OD| = OA·OB

2-(1)はもう少し正確に。と先生からコメントされました。 （2）は答え方がわからないです。 わかる方教えてください💦

2 各間に答えなさい。(結果だけでよい。) (1)三角形の重心はどのような位置にあるか、「中線」を用いて説明しなさい。 (解答)各中線を、2:1に内分する位置 (2)直角二等辺三角形を書いて外心、重心、垂心を書きこむと、この3点がど のような位置関係にあるのかわかります。3点の位置関係を説明しなさい。 (解答)

写真の矢印の変形になるのがよくわかりません。 詳しく教えていただけますか?

例題276 三角形 AABC の垂心をHとし, CH上に ZALB が直角になるような点Lをと る。頂点 A, B, Cから各対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ D, E, Fと 心C するとき,次の問に答えよ。 (1) AF:FH = CF:FB であることを示せ。 (2) AF:FL = LF:FB であることを示せ。 (3) AABC の面積を Si, △AHB の面積を S2 とするとき,△ALB の面積 Sを Si, S。 を用いて表せ。 辺の比が等しいことを示すためには,三角形の相似比を利用する。 (1) AF:FH = CF:FB → △ 口SAI (2) AF:FL = LF:FB ー→ △ の A C (0ot) (3) 前問の結果の利用 例題275 E L 《@Action 底辺の等しい三角形の面積此は, 高さの比とせよ すべて底辺は AB 高さの比 ロD △ABC:△AHB:△ALB = CF:HF:LF (1), (2) から辺の比を求める。 A F B 解(1) ZADB= ZCFB = 90°であり, ZBは共通であるから C 直線1上にない点Pから 1に下ろした垂線と1の 交点を,この垂線の足と いう。 △ABD o ACBF E L よって ZBAD = ZBCF ロD A すなわち ZHAF ZBCF H また,ZAFH = ZCFB = 90° で あるから A F B AAHFのACBF よって AF:FH = CF :FB (2) ZFAL+ZFLA = 90°, ZFLB+ ZFLA= 90° より C ABI LF ALI LB ZFAL = ZFLB また,ZAFL= ZLFB = 90° で あるから E L ロD AAFLのALFB よって AF:FL = LF:FB H (3) (1), (2) より F B LF° = CF·FH (1)より AF·FB = CF·FH (2)より LF° = AF·FB よって CF:LF = LF:FH 例題 △ABC, △AHB, △ALB の底辺を AB とすると S,:S2:S= CF:HF:LF これと0より 275 S.:S= S:S。 S° = S,S2 S>0 より, △ALB の面積け すなわち SはS, S, の相乗平均で 思考のプロセス

この問題の解き方が分からないので教えてください💦

55 三角形の垂心 3点A(2, 3), B(11, 0), C(3, 0) を頂点とする△ABC について, 各頂点か ら対辺に引いた3本の垂線の交点の座標を求めよ。 垂線の傾きは直線 AB, BC, CA の傾きから求める。 3本の垂線は1つの点で交わる。 この点を三角形の垂心という。

教えてください

次の空欄を埋めよ。 鋭角三角形 ABC の垂心を Hとし,直線 BH と辺 AC の交点を D, 直線 AH と辺 BCの交点 をE, 直線CH と辺 AB の交点をFとする。 AB = 50, CD = 20, CH = 25, HF = 15 であるとき,線分 AD, BH の長さを求めよ。 AD = ア イ BH =

解説か、ヒントお願いします。 内心の位置ベクトルの証明です。 最後のところがどうしても、どうしてそういう変形になるのかわかりません． （矢印で引っ張ってあるところ）

置ベクトル 例題 25, 26, 28 では, 辺の長さが与えられた場合の三角形の垂心,内心,与 ここでは,これらの位置ペクトルが,A(ā), B(万 事 とき,a, 6, cでどのように表されるかを説明しよう。 「以下, △ABC に対し,A(a), B(6), C(C), BC=a, CA=6, AB=c と 三角形の内心の位置ベクトル AABC の内心を I(i) とし, トAの二等分線と辺 BCの交点 をDとすると BD:DC=AB: AC=c:b AD= bAB+cAC よって c+b C C .. ca b+c また BD= *a= B b+c Bの二等分線と線分 AD の交点がIであるから AI:ID=BA: BD=c: Ca =(6+c): a b+c b+c -AD= (6+c)+a ゆえに Ai= b+c bAB+cAC a+b+c b+c b -AB+ atb+c C -AC a+b+c i-a= 6 a+b+c よって (万ー)+ α+6+c(C-d) 6万-66+cc-ca_aà+66+cè W aa+b6+cc) 00 したがって i=a+ a+b+c. a+b+c 心,外心の位置べクトルについては, それぞれ次のように表される れる過程は,解答編 p.314, p.315参照。 三角形の垂心の位置ベクトル AABC の垂心をH(万)とすると

1番したです x=2になってるのですが私はy=2になります どこが違うのか教えてください

座標を利用した証明(2),垂心 OO0 退 座標平面上の3点 0(0, 0), A(2, 5), B(6, 点から対辺に下ろした3つの垂線は1点で交わることを証明せよ。 0)を頂点とする △0ABの名 基: CHART SOLUTION SoT 3直線が1点で交わることを証明するには, 2直線の交点が第3の直線上にあ ことを示すのが一般的(か.121 基本例題 76 (2))であるが,本間では, △OABのI 点Aから対辺に下ろした垂線が直線 x=2 となるから, 頂点 0, Bから対辺に ろした垂線と直線 x=2 の交点をそれぞれ求め, それらが一致することを示せに よい。 解答 0-5 直線 AB の傾きは _ 5 6-2 ニー 4 A 5| よって, 頂点0から対辺 AB に下ろ した垂線 OC の方程式は C D 4 ソ= の 垂直 → 傾きの積が一 直線 OC の傾きをmと 5 E B 6 5 2 x また,直線 OAの傾きは 2 すると -m=ー1 よって,頂点Bから対辺 OA に下ろした垂線 BD の方程式は 4 よって m== -(x-6) すなわち 2 2 ソ=ー 12 ソー0= 5 5そ+ 5 の 頂点Aから対辺 OB に下ろした垂線 AE の方程式は x=2 3 |5

(2)です。④の式をどうやって求めたのか分かりません。教えてください。

94 第1章 複素数平面 Check 例題 37 垂線の方程式,垂心 複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(α), B(B), C(y) を定 (1))点Aから直線 BCに垂線!を引くとき, この垂線l上の任意の点 2-1)が成り立つことを証明せよ。 (山形大·改) める。 P(z)について, z-α=By\z (2) △ABCの垂心を a, B, yで表せ。 lel=I8|=lyl=1 まるいて

この問題で、b＝0かc＝0のときは、３つの垂線は原点で交わると書かれているのですが、どう考えたら原点を通るのでしょうか。 考えても原点で交わるイメージが湧きません。 よろしければ教えてくださると嬉しいです。

F図形の性質の証明 三角形の頂点に向かい合う辺を,その頂点の 対辺 という。 応用 例題 AABC の3つの頂点から.それぞれの対辺またはその延長に下 2 ろした垂線 AL, BM, CN は, 1点で交わることを証明せよ。 5 (解説)平面上に座標軸を適当に定めて, 図形の関係を式で表す。 証明 直線 BCを×軸に,垂線 AL をy 軸にとって,△ABCの各頂点の aA(0) 座標を,それぞれ次のようにおく。 M N, A(0, a), B(b, 0), C(c, 0) Cb,0) B H ただし,aキ0である。 0L 10 b C x 6=0 または c=0のときは, △ABC は直角三角形となり, 3つの垂線は, 原点で交わる。 a 6キ0 かつ cキ0のとき, 直線 ABの傾きは であるから, b a-0 垂線 CN の方程式は (C,0) 0-b b b x a bc (x-c) すなわち y=- 15 ソ= a a a 直線 AC の傾きは-- であるから,垂線 BM の方程式は C K6,0) ソ=ー (x-b) すなわち y= bc x X- Cょ a a a よって,2直線CN, BMは, ともに点H(0, - 2C)を通り, bc a Hはy軸上,すなわち直線 AL上にある。 したがって,3つの垂線 AL, BM, CN は1点で交わる。終 応用例題2における3つの垂線が交わる点を, 三角形の 垂心 という。