二次関数の場合分けが理解できません。最大値の時だけ中央値を求める理由も分かりません。中央値がなくても最大値は分かると思うのですが、それではだめなのですか？ 色々調べても納得する答えがなかったので中央値が必要になるなどという証明？例？みたいなのを教えてほしいですm(_ _)m

基本例題 61 定義域の一端が動く場合の関数の最大 最小 aは正の定数とする。 0≦xa における関数f(x)=x^²-4x+5 について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 CHARTO SOLUTION [1] 軸が定義域の 中央より右 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け [軸 定義域が 0≦xsa で あるから､文字αの値 が増加すると定義域の 右端が動いて,xの変 域が広がっていく。 し たがって、αの値によ って、最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほど の値は大きい (p. 100 INFORMATION 参照)。 したがって, 定義域 0≦x≦a の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する) ようなαの値が場合分けの境目となる。 最大 軸 定義域 の中央 x=0x=a [2] 軸が定義域の 中央に一致 軸 最大 Ap.97 基本事項 基本 58 |軸 軸が定義域 の外 FT 区間の 右端が 最小 x=0 定義域の両 端から軸ま での距離が 等しいとき 最大 定義域 の中央 x=a [5] 軸が定義域 の内 [3] 区間の 右端が 動く 基本 62,63 V 軸が定義域の 中央より左 軸 (2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、軸が定義域 0≦x≦に含 まれていれば頂点で最小となる。 したがって, 軸が定義域 0≦x≦a に含まれ るか含まれないかで場合分けをする。 [4] 最小 11 [最大] 定義域 の中央

四角で囲ってあるところって公式ですか？なぜ相似比を二乗したら面積比になるか分かりません

二変形 域の右! 定義域の方 る。 -5 内にお 最小と の技 基本例題 64 最大・最小の文章題 (1) 00000 BC=18, CA=6である直角三角形 ABC の斜辺 AB 上に点Dをとり,Dか ら辺BC と CA にそれぞれ垂線 DEとDFを引く。 △ADF と△DBEの面 積の合計が最小となるときの線分 DE の長さとそのときの面積を求めよ。 基本 58 CHART O SOLUTION 文章題の解法 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ DE=x とおくと,相似な図形の性質から△ADF, △DBEはxの式で表される。 またのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 解答 DE=x とし, △ADF と△DBE の面 積の合計をSとする。 0<DE=FC <AC であるから 0<x< 6 ...... △ADF= 同様に, △ABC よって ゆえに,面積は (6-x)².54-3-(6-x)² = AF=6-x △ABC △ADF であり, △ABC: △ADF=62: (6-x) 2 △ABC=1/2･18･654 であるから △DBE= B S=△ADF+ △DBE 3 -{(6−x)²+x²} 2 62 △DBE であり,△ABC:△DBE=62: x2 x² 3 62.54= 2x² AS 54% D 27 x 0 F(00) .(0.8) (辺の長さ) > 0 C =3(x2-6x+18) 3 6 x =3(x-3)2 +27 よって, ① の範囲のxについて,Sはx=3で最小値 27 をと る。ゆえに, DEの長さが3のとき, 面積の最小値は 27 である。 ◆xのとりうる値の範囲。 相似比が min 面積比は²: n² ■三角形の面積は 1 2 107 TORE ×(底辺)×(高さ) 別解 長方形 DECF の面積 をTとすると, Tが最大に なるときSは最小となる。 DF=3(6-x) から T=x・3(6-x) =-3(x-3)2 +27 0<x< 6 から, x=3でT は最大値 27 をとる。 よって, DE の長さが3の とき, Sは最小値 1/1･6･18-27=27 をとる。 3章 2次関数の最大・最小と決定

(１)場合分けのひとつをa＜2と置いたのですが なぜ0＜a／2＜2で解くんですか？ また(1)みたいに中央の値を求めて範囲を決める場合と(2)のように決めない場合の違いを教えて欲しいです。 私は(2)のように(1)解こうとしました。

02 D 基本例題 61 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 00000 aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5 について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求め CHART O SOL OLUTION [1] 軸が定義域の 中央より右 ト軸 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小 軸と定義域の位置関係で場合分け ・・・・・・ 軸 定義域が 0≦x≦a で あるから, 文字αの値 が増加すると定義域の 右端が動いて,xの変 域が広がっていく。 し たがって, a の値によ って, 最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほど yの値は大きい (カ. 100 INFORMATION 参照)。 したがって, 定義域 0≦x≦a の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する ) ようなαの値が場合分けの境目となる。 I=8+D- 最大 定義域 の中央 x=0x=a [2] 軸が定義域の 中央に一致 軸 最大 宝 1p.97 基本事項 2, 基本 58 MC 区間の 右端が 動く 1 x = 0 |軸 端から軸ま での距離が 等しいとき JERO 定義域 の中央 x=a 軸が定義域の> 定義域の両[3] で 区間の 右端が 動く HER 0< x=0 基本62,63 中央より左 軸| |軸 ● 最大 x=a 13 13 MOT 定義域 の中央

最大値をもとめる問題の【2】の所がわからないのですが、【1】の場合a＜2の時X＝4で最大値16-5aをとる事が分かったのですが、 【2】の場合a＝2の時って、X＝0,4ってありますけど、X＝4代入したら、【1】と同じで最大値16－5aをとるんじゃないんですか？

130 基本 例題 79 2次関数の最大・最小 (4) aは定数とする。 0≦x≦4 における関数f(x)=x-2ax+3aについて を求めよ。 (1) 最大値 (2) 最小値 したがって 指針関数のグラフ (下に凸の放物線)の軸は直線x=4であるが,αのとる値によって、 置が変わる。 よって, 軸x=a と区間 0≦x≦4の位置関係で、次のように場合を分ける。 (1) 最大 区間の端) 軸が区間の中央より左,中央, 中央より (2) 最小(頂点または区間の端)→軸が区間の左外,內,右外 大 解答 関数の式を変形するとf(x)=(x-a)^-1²+3c y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、 x 軸は直線 区間 03 4の中央の値はり役で、軸は連絡、 [1] a [1] から, x=4で最大値f(4)=16-5aをとる。 <2のとき,図 [7] [2] a=2のとき,図 [2] から、x=0, 4で最大値f(0)=f(4)=6)をとる。 [[3] a>2のとき,図 [3] から, x=0で最大値f(0)=3a をとる。 [2]\ [3] 00000 x=0x=a x=4 x=0x=2x=4 a<2のとき x=4で最大値 16-5α α=2のとき x=0, 4で最大値6 基本77 大 どっちが代入して、 [x=2] x=0x=ax=4 まず、基本形に直す。 基本114. BY CON a>2のとき x=0で最大値3a (2) 軸x=αが 0≦x≦4の範囲に含まれるかどうかを考える。 [ [4] a <0のとき, 図 [4] から, x=0で最小値f(0)=3aをとる｡ [5] 0≦a≦4のとき, 図 [5] から, x=αで最小値f(a) = -² +3a をとる。 [ [6] α > 4 のとき, 図 [6] から, x=4で最小値f(4) = 16-5αをとる。 が Fin •f=bl y

(2)についてなのですが、X二乗-2X-1の範囲の求め方が分からないので教えて頂きたいです(TT)

55 14 2次関数の最大・最小 (1) (1) y=2x2+2ax+3 (a +1) の最小値をMとする. α を変化させたときM の最大値,およびそのときのαの値を求めよ。 (名古屋学院大・改) (2) 定義域が-1≦x≦1 であるとき。 関数 9 y=(x2-2x-1)-2(x²-2x-1)+5 の最大値、最小値を求めよ. - -)(名城大・改)

なぜ最大値はX=0を含まないでX=1だけなのでしょうか？

5 16 2次関数の最大・最小 (3) πの2次関数y=ax2+bx (a,bは定数) 0≦x≦1における最大値が 16, 最小値が−9 となるα, bは2組あるという。このとき,αの値を求め よ. ( 東京薬科大) 120217

なぜ、【2】の問題場合分けするのですか？ 優しい方詳しく説明教えてください！

82 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (1) (1) 関数y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように定数kの値を 定めよ。 また,このとき最小値を求めよ。 関数y=x2-2x+12-2(0≦x≦2)の最小値が 11 になるような正の定数 l の値を求めよ。 基本 77.79 重要83 例題 針>関数を基本形y=a(x-p)' +αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め, (最大値) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。……… I (2) (2)では,軸x=1(10) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。 CHART 2次関数の最大･最小 グラフの頂点と端をチェック #2 y=-2x2+8x+k を変形すると y=-2(x-2)^+k+8 よって、1≦x≦4 においては、 右の図 から x=2で最大値k+8をとる。 ゆえに 18=4 よって k=-4 このとき, x=4で最小値-4 をとる。 y=x2-2lx+1-21 を変形して y=(x-12-21 [1] 0 <I≦2のとき, x=lで最小値 21 をとる。 21 11 とすると 1=- これは 012を満たさない。 ②] 2<1のとき、x=2で最小値 2-21・2+ F-21 つまり P-6l+4 をとる。 6/+4=11 とすると 1²-61-7=0 これを解くと <!を満たすものは 上から求める!の値は 7=-1,7 1=7 11 2 1=7 ya k+8--- 012 • 3 = 42 % +₁²1² Yat-ton 輪 [1] 34 0 最大 -21 [2] YA| 02 2 x 区間の中央の値は であ 2 るから, 軸x=2は区間 1≦x≦4 で 中央より左に ある｡ 最大値を 4 とおいて, の方程式を解く。 「は正」に注意。 0 <Z≦2のとき, 軸x=1は区間の内。 →頂点x=lで最小 の確認を忘れずに。 2<1のとき, 軸x=1は区間の右外。 →区間の右端x=2で 4(1+1)(1-7)=0 1 の確認を忘れずに。 1 における最大値が6であるとき

【1】の問題で私が波線で引いた所ｙ＝一2(x-2)2乗＋k＋8にX＝4を代入したら、答えX＝4で最小値kをとりますよね？ なぜ、X＝4で最小値－4をとるのですか？ 優しい方詳しく説明教えてください！

82 2次関数の係数決定[最大値・最小値〕 (1) 00000 関数 y=-2x+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように定数kの値を 定めよ。 また、このとき最小値を求めよ。 関数y=x-2x+12-21 (x2) の最小値が11 になるような正の定数 (2) の値を求めよ。 解答 y=-2x2+8x+kを変形すると y=-2(x-2)+k+8 よって、1≦x≦4 においては, 右の図 関数を基本形y=a(x-p)+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め, (1) (最大値)=4 (2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。 (2)では, 軸x=1(20)が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。 CHART 2次関数の最大 最小 グラフの頂点と端をチェック から, x=2で最大値k+8をとる。 ゆえに k+8=4 よって k=-4 このとき, x=4で最小値-4 をとる。 [②] y=x²-2x+12-21 を変形して YA k+8 最大 2 最小 2=40²8₁ 211 ²1² ration? 基本 77,79 x 重要 83 区間の中央の値は 1/2であ るから, 軸x=2は区間 I≦x≦4 で 中央より左に ある。 <最大値を=4 とおいて, の方程式を解く。 1

2次関数の最大、最小の問題がわかりません。 a＜0のときX＝1で最大値をとるんじゃないんですか？ なぜ、X＝aで最大値a2乗－2a＋2になるのか、分かりません！ 優しい方詳しく説明教えてください！

132 基本 例題 80 2次関数の最大・最小(5) Q を定数とする｡ asxSa+2 における関数f(x)=x2-2x+2について、 指針 この問題では、区間の 幅は2で一定であるが、 の増加とともに区間 全体が右に移動するか ら、軸x=1と区間 ax+2の位置関 上から x=x=a+2 f(x)=x^²-2x+2=(x-1)'+1 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線x=1 (1) 区間 a≦x≦2の中央の値は α+1 [1] a-1 < 1 すなわちα <0 のとき [1 右のグラフから, x=αで最大と なる。 最大 最大値はf(a) =q²-2a+2 [2] α+1=1 すなわち α = 0 のとき 右のグラフから, x=0.2で最大 となる。 最大値はf(0)=f(2)=2 (2) 最小値 [3] α+ 1 > 1 すなわち>0のとき 右のグラフから、x=a+2で最大 となる。 最大値は f(a+2)=(a+2)²-2(a+2)+2 =a²+2a+2 (1) 最大値 関数 y=f(x)のグラフは下に凸であるから、軸から遠いほどぃの値は大き い。よって、区間の両港(x=0、x=a+2) と軸までの距離が等しいときのの味が 合分けの境目となる。 (2) 最小値グラフは下に凸であるから、軸が区間に含まれるときと含まれないとき に含まれないときは区間の右外か左外かで場合分けをする。 x-a [2]\ [3] x=a+1x=1 HOF x=a+2 最大←------最大 x=a x=a+2 x=0x=1x=2 [α<0のとき x=αで最大値α²-2a+2 a=0のとき x=0, 2で最大値2 la>0のとき x=a+2で最大値 +2a+2 ・軸 最大 x=1 x=a+1 \x=a+2 区間が 動く x=Q atat2 2 =a+1 軸が区間の中央x=a+1 より右にあるので、x=q の方が軸から遠い。 よって f(a)>f(a+2) 軸が区間の中央x=a+1 に一致するから、 軸と x=a, a +2 との距離が等 しい｡ よってf(a)=f(a+2) 軸が区間の中央x=a+1 より左にあるので、 x=α+2の方が軸から遠い よってf(a)<f(a+2)

青チャートの解答と微妙に違うんですがこれでも満点はもらえますか 2問目です

(2) 式を変形して =(x-2-20 ( グラフと下に凸の放物線で軸は文こと [1] 0≦2のときグラフは右のようになる 右の図から大=1のとき最小値をとる 関数に火 を代入して 2111 よってヒ-1 これはOLを満たさない [2] [くものときグラフは右のようになる 右の図からx=2のとき最小値をとる 関数にx=2を代入して 4 - 4² + 1 ² + - 22 = 1² - 62 + 4 = 11 2 すなわちで-62-7=0 これを解いてた -1.7 127はしくもを満たす [1] [2] より求めるもの値はたつ 2 02 2 Mi 2 2