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192
第7章数
列
基礎問
精講
y
126 2 項間の漸化式(IV)
(2)災
(3)750
a1= 0, an+1=2an+(-1)+1 (n≧1) で定義される数列{a} が
ある.
(1)b = m とおくとき, bm+1 を bm で表せ
(2) 6m を求めよ.
(3) am を求めよ.
x=pan+gal (p=1,g*1) 型の漸化式の解き方には、次の2
通りがあります。
Ⅰ. 両辺を+1でわり, 階差数列にもちこむ (125ポイント)
II. 両辺をg+1でわり, bm+1=rb+s 型にもちこむ
この問題ではIを要求していますから にⅡによる解法を示しておき
ます。
解答
(3)an=2"bm
考
-1)"-1
"= {2"-2". ("-")= | | (2"-2(−1)-1)
2-1
-(2-1-(-1))
(IIの考え方で)
①の両辺を (-1)+1 でわると,
an+1
(-1)n+I
an+1
2an
(-1)n+r+1
an
ここで、(1)"
③ より bn+1=-26n+1
1. だから、
b2-3
3
bn
an+1
an=bm とおくと,i=bn+1 だから
-2"-1
..
bn+1-3=-2(br− 1)
b=(1-(-2)-1)
an=(-1)"bm=1/2(21-(−1)"-1}
193
an+1=2am+(-1)+1
(1) ①の両辺を2+1でわると,
①
①に, a„=2"bn,
n+1
......2
an+1=2+1bn+1 を
代入してもよい
注 この問題に限っては, 両辺に (-1) "+1 をかけて (-1)"an=bn と
=bm とおくとき,
+1=61 と表せるので
2"
②より6+1=6+
(2) n≧2 のとき
b=b₁+
2+1
n+1
122 階差数列
おいても解けます.
ポイント漸化式は,おきかえによって,次の3つのいずれかの
型にもちこめれば一般項が求まる
I. 等差 Ⅱ.等比
III. 階差
k+1
[119]
=0+
1-
1+2
カー
初項/1/11 公比 -/1/2
演習問題 126
項数n-1の
等比数列の和
これは, n=1のときも含む.
◆吟味を忘れずに
a=3, an+1=3an+2" (n≧1) で定義される数列{a}がある .
(1)=6, とおくとき,bn+1とbの間に成りたつ関係式を求め
(2) bnnで表せ.
(3) annで表せ.
