1と-1の間を振動して収束しないとはどういうことですか？

は、x=0 で連続か. また,x=D0 で微分可能か。 ( lim f(x)= f0)であるい。 316 (xキ0) (エ=0) Sn |xsin 150 関数 (x)= 10 0s/sins1より。 0slesinslel mld-0 より, sin-0 めて、x=0 で連続から 調べる。 各辺にx|を掛ける。 はさみうちの原理を頼 limxsin limx|=0 より, 1-0 したがって, lim f(x)=limxsinト S(0)=0 より, lim/(x)=f(0) となり、 関数(x)は, x=0 で連続である。 hsin- 『→0 0 10+h)-f(0) h =lim |x%=D0 で微分可能かとうに 次に、 lim h h=0 べる。 1 =limsin sin-は、h→0のとき,1と -1の間を振動して収束しな いので,のの値は存在しない。 よって,関数子(x) は x=0 で微分可能でない。 「微分可能→連続」 「連続→微分可能。 らない。

どうして傍線部の部分を求める必要があるのですか？

このとき,「微分可能であれば連続」であるが、 「連続であっても、 微分可能とは限らな 同数 (x)-/sin 0 (x*0) は、x=0 で連続か、 また, x=0で (x=0) 分可能か。 (連続) (x) がx=a で連続 limf(x)=f(a) く微分可能) 『(x)がx=aで微分可能 →f(a)=lim/a+h)-f(a) 日 が存在する h い」ことに注意する。 : 04ain 0=sin|s x*>0 より、 lim f(x)=Df(0) であるか確 lim.r=0 より, したがって, lim/(x)-1limr'sin!-0 f(0)=0 より,lim/(x)= f(0) となり。 関数f(x)は x=0 で連続である。 かめて、x=0 で連続かど うか調べる。 x>0 より、 各辺にxを 掛けても、不等号の向きは 変わらない。 各辺をx→0として極限 をとり、はさみうちの原理 を利用する。 limx*sin エー0 0-4 f(0+h)-f(0) lim ズ=0 で微分可能かとうか 調べる。 次に、 h h→0 1 h°sin テ-0 h h Y4 =lim |y=f(x) h→0 agnh 1 =limhsin h h→0 0sasin- S, limlカ|=0 より, ①は, h→0 limhsinー=0 h→0 よって、f(0)が存在するので, 関数子(x)は x=0 で微分可能である。 『(0)=0 値O可能であることを示す必要がある。

数III はさみうちの原理です。 -1≦cosnθ≦1がなぜ写真の黄色で塗ったようになるのかがわからないです。 教えてください！

|2) -1Scosn0 _1 より 0ハ cos°n0 <1で あるから

計算していくと最終的に2枚目のような解答になるのですが空白に入るのは はさみうちの原理ですか？それとも追い出しの原理ですか？ 教えてください🙏 ちなみにanは無限大に発散します。なのではさみうちの原理で良いのか気になりました。

5 b, 1 b,= 2 n を求めよ。 n =2 とするとき, lima,, lim n→o Un an n) 三 2k+1 k=1 k=1 ○Tu

数3です。文系の人はすみません 解答3行目の変形がわからないです。 教えてください

(2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題105同様,はさみうちの原理を用い 184 OOO00 基本 例題106 数列の極限 (5) …はさみうちの原理2 nはn23 の整数とする。 無 (1) 不等式 2">ーが成り立つことを,二項定理を用いて示せ。 6 (2) lim n? の値を求めよ。 n→o 27 基本 105 指針>(1) 2"=(1+1)” とみて,二項定理 を用いる。 (a+b)"=a"+,Cia""'b+,Cza"?6+………+.C-1ab"-14h。 る。(1)で示した不等式も利用。 初 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 2 解答 n=1, 2の場合も不等式は 成り立つ。 (1) n23のとき 2"=(1+1)"=1+»Ci+»C2+… +,Cn-1+1 21+n+-n(n-1)+n(n-1)(n-2) 42"21+,Ci+CataCg (等号成立は n=3のとき。) 2 1 5 73- n 6 6 n? 6 よって 2">台が 6 6 (2) (1) の結果から 各辺の逆数をとる。 27 6 よって 0< 27 (各辺にn?(>0)を掛ける。 n lim 6 =0 であるから lim =0 はさみうちの原理。 n→0 n n→0 24 検討)はさみうちの原理と二項定理 はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として, 上の例題のように, 二現定生 用いられることも多い。 なお, 二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておくとよ のさ感ちお x20のとき (1+x)"z1+nx+ n(n-1)x Jの 練習 nを正の整数とする。 ©106 (1) 上の 検討 の不等式 (*)を用いて, (1+,- 3 2 (2) (1)で示した不等式を用いて, limniの値を求めよ。 >nが成り立つことを示せ n (類京都産大 V V

マーカーしたところの意味がわかりません。

イント lim e々 =0 lim log.エ =0 F 8 0200+ x>0 のとき,Vェ>log.z を示せ.ie ((2) lim log z -0 を示せ. 0-スS エ→0

赤の式はどのようにしたらこのようになるのか分かりません。 よろしくお願いします🙏🙏🙏

例 正の数からなる数列{an}が, すべての自然数nに対してan+1三→aのを満たし ているとき, 数列 {a,} は0に収束することを示してみよう. a。を繰り返し用いると, 2 an+1ミ 1 -an-1S 2 11 n-1 1 an-2= 1 -an-3S 22 2_22 2 a1. これと an>0 より, n-1 0< anS 2 a1. n-1 ここで,liml a,=0であるので, はさみうちの原理より, n→o|2 liman=0. otu

どうして（10）には絶対値がついているのですか？

(10) lim° sin-を求めよ。 を -0 2 () lim ° sin。を求めよ。 →0

（2）のピンクのマーカーを引いた部分についてなのですが、この範囲しか考えなくて良いのはなぜですか？ 書き込みで見にくくなっていてすみません🙇‍♀️

解答は192ページ sinx についてx=aにおける微分係数は cosa であるが,これを定義に従 って求めてみよう。そのために次の順序で各間に答えよ。 π 2(0) 0<x<等のとき0<sin.x<x<tanxが成り立つことを図を用いて 2 説明せよ。(図は座標平面上の原点を中心とする半径1の円の第1象限 の部分を用いよ。) sinx lim x 1-cosx = 1, lim =0を示せ。 X→0 X→0 x 8) 関数f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)の定義を述べ, その定義 に従ってf(x)== sinxの場合にf'(a)を求めよ。

数3の極限です。分かる方解説お願いします！

199 n を3以上の自然数とするとき, 次の間に答えよ。 08 n(n-1)(n-2) (1) ん>0 のとき, (1+ん)”> -パが成り立つことを証明せ 6 よ。 2 (2) (1)の不等式を用いて, lim n→o 3% を求めよ。