青チャートIIの軌跡と方程式の質問です。上部の赤枠で囲まれている内容がよく分かりません。特に曲線f(x,y)=0を除くという部分です。下に説明が書いてあり「すなわち」とありますが意味が分かりません。写真に書いてある説明を使わなくても大丈夫なので何故「曲線f(x,y)=0を除... 続きを読む

19 一般に,次のことが成り立つ [曲線f(x, y)=0 については, p.158 2 の解説も参照] 。 異なる2曲線 f(x,y)=0, g(x, y)=0がいくつかの交点をもつとき, 方程式 kf(x,y)+g(x,y)=0(kは定数) A は,それらの交 点すべてを通る曲線を表す [ただし, 曲線 f(x,y)=0を除く]。 ( ...... }(*) 4 (2) で方程式 kf+g=0 を利用する理由 思考力 判断力 2円の 求められたので、か.144個用 円の方程式の一 tmy+n=0に通る3点 (12) (-2 3文字の連立方程式を解いてもよい。しかし、通る点の座標によっては 1 (1, C)の座標を もある 対し程式 ty="を利用して進めると, 通る点)の 代 んの1次方程を解けばよいから, 計算も簡単に進められて都合がよい 補足 1. ここで,上の (*) が成り立つ理由について考えてみよう。 2曲線がn個の交点A(xi, yi) (i=1, 2, ......, n) をもつとする。 2曲線はともに点Aを通るから, f(xi, yi) = 0, g(xi, yi) = 0 が ともに成り立つ。 よって, たの値に関係なく, kf(xi, yi)+g(Xi,y)=0が成り立つ。 すなわち, A の表す曲線は点 Ai (i=1, 2, ......, n) を通る。 しかし, 曲線 f(x, y) = 0 上で交点以外の点をP (s, t) とすると, f(s,t) = 0 かつ g(s,t) ≠ 0 であるから, kf(s,t)+g(s,t) = 0 を満たすんは存在しない。 すなわち, 方程式 A が曲線 f(x, y) = 0 を表すことはない。 f(xi, yi) は f(x,y) に x=xi, y=y; を代入したと きの値｡

高校2年の数学です。矢印のところが何しているか分かりません。 解説をお願いします🙇‍♀️🤲🏻💦

102 g) 5. 直線に関する対称移動 基本例題 100 直線 x+y=1 に関して点Qと対称な点をPとする。 点Qが直線 x-2y+8=0 上を動くとき, 点Pは直線上を動く。 CHART & SOLUTION 線対称 直線ℓに関して PとQが対称 [[1] 直線PQlに垂直! [ [2] 線分PQの中点が上にある Q 点Qが直線x-2y+8=0 上を動くときの, 直線ℓ: x+y=1 に関して点Qと対称な点 Pの軌跡,と考える。つまり, Q(s,t)に連動する点P(x,y) の軌跡 ①1 s, tをx, y で表す。 ② x, yだけの関係式を導く。 解答 直線 x-2y+8=0 ① 上を動く点をQ(s, t) とし, 直線 x+y=1 に関して点Qと対称な点を P(x,y) とする。 [1] 点PとQが一致しない とき、直線PQ が直線② に垂直であるから x+s 2 t-y.(-1)=-1 ...... ③3 Sx 線分PQの中点が直線 ② 上にあるから (4) ③から s-t=x-y ④から s, tについて解くど s=1-y, t=1-x また、点Qは直線 ① 上の点であるから +y+ t = 1 2 ****** (2) -8 これは ⑦ を満たす。 以上から、求める直線の方程式は P(x, y) s-2t+8=0 ... (6) YA 41 ...... 11 0 1 s+t=2-(x+y) QQ(s,t) ⑤ ⑥ に代入して (1-y)-2(1-x)+8=0 すなわち 2x-y+7=0 [2] 点PとQが一致するとき, 点Pは直線①と②の交点 であるから x=-2, y=3 x |2x-y+7=0 基本 7898 163 On 線対称な直線を求め るには, EXERCISES 71 (p.137) のような方法も あるが､ 左の解答で用いた 軌跡の考え方は、直線以外 の図形に対しても通用する。 垂直傾きの積が1 ◆線分PQの中点の座標は 上の2式の辺々を加え ると 2s=2-2y 辺々を引くと -2t=2x-2 s, t を消去する。 方程式 ①と②を連立 させて解く。 3章 PRACTICE 100③ 直線 2x-y+3=0 に関して点Qと対称な点をPとする。点Qが直線3x+y-1=0 上を動くとき 点Pの軌跡を求めよ。 13 軌跡と方程式

高校2年数学です。なぜ矢印のようになるのかが分かりません。 平方完成してみてもなりません。泣泣泣 誰か、解説お願いします🙇‍♀️T^T

られた条件を を求める する。) いものを除く 。 点Pが よ。 P(x,y) 5。 存在し 基本 例題 98 曲線上の動点に連動する点の軌跡 00000 点Qが円x2+y2=9 上を動くとき, 点A(1, 2) とQを結ぶ線分 AQ を 2:1 に内分する点Pの軌跡を求めよ。 CHART & SOLUTION 連動して動く点の軌跡 つなぎの文字を消去して、x,yだけの関係式を導く 動点Qの座標を(s,t), それにともなって動く点Pの座標を(x,y) とする。Qの条件をs, を用いた式で表し, P, Qの関係から,s,tをそれぞれx,yで表す。 これをQの条件式に 代入して, s, tを消去する。 解答 Q(s,t), P(x,y) とする。 Qは円x2+y2=9 上の点であるから s2+12=9 Pは線分AQ を 2:1に内分する点であるから 1.1+2s 1+2s 2+1 3 -3x-1, 1-3v-2 よって 2 ●これを①に代入すると 8= y= 1.2+2t 2+2t 2+1 3 (3x21)+(32/22)-9 2 2 ( x − ²1² ) ² + ( x − ² ² ) ² = ₁ =4 9 2 2 10*1²= 2/(x-1) ² 2 ( x − 3 ) ² + 2 (v - ² ) ² = 9 4 - @ =9 よって したがって, 点Pは円 ② 上にある。 逆に, 円 ② 上の任意の点は,条件を満たす。 以上から, 求める軌跡は 中心 (12/12/2) 半径2の円 2 p.158 基本事項 1 (s, t) Q -3 ya 13 O A (1,2) + P(x,y) つなぎの文字 s, tを消 去。 これによりPの条 件 (x,yの方程式)が得 られる。 [in 上の図から、点Qが 円x2+y2=9上のどの位 置にあっても線分AQは 存在する。 よって、 解答で 求めた軌跡に除外点は存在 しない。 POINT 曲線 f(x,y)=0 上の動点(s,t) に連動する点 (x,y) の軌跡 ① 点 (s,t) は曲線 f(x, y) = 0 上の点であるから f(s,t) = 0 ② s, t をそれぞれx, yで表す。 ③ f(s,t) = 0 ② を代入して, s, t を消去する。 3章 13 軌跡と方程式

波線で引いた所って、X＝t－5ではないのでしょうか？

基本例題110 媒介変数と軌跡 0000 放物線y=x2+ (21-10)x-At+16の頂点をPとする。 tが0以上の値をとって 変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。 指針のを1つ定めると放物線が決まり。 頂点も定まる。 例えば y=x²-10x+16, 頂点(5, -9) y=x2-8x+12, 頂点 (4.4) y=x²-6x+8, 頂点 (3,-1) y=x2-4x+4, 頂点 (2,0) y=x²-2x, 頂点 (1, -1) 10 のとき t=1のとき t=2のとき 1-3のとき 解答 4のとき → このように考えていくと、右図から頂点Pの軌跡は放物線の 一部らしいことがわかる。 y=x2+(2t-10)x-4t+16 ={x+(t-5)}^-(t-5)-4t+16 ={x+(t-5)}^-f2+6t-9 ={x+(15)-(t-3)² よって、放物線の頂点Pの座標を(x,y) とすると y=-(t-3)2 ①から ②に代入して ...... t=5-x 頂点の座標を(x,y) とすると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。 x=(tの式),y=(tの式) から 変数t (p.168で学習したつなぎの文字と同じ)を消去し て,x,yの関係式を導く。 なお、10の条件に要注意。 y=-{(5-x)-3} =-(x-2)^ また、 ≧0であるから したがって x≤5 よって、求める軌跡は, 5-x≥0 放物線y=-(x-2)のx≦5の部分 ya 0 #108 2 11. 3* +-3 026 -6 16 1-0 x tを消去。 ⑩ 2次式は基本形に直す 放物線y=a(x-p)^'+qの 頂点は(p,q) 171 xyはtの式で表される。 tの値に制限があるから, x, の範囲にも制限がある。 これを調べる。 3章 18 軌跡と方程式

数2の軌跡の問題です。考え方は分かったのですが、赤で示したところの変形がどうなっているのか分かりません💦至急お願いしますm(_ _)m

程式は 練習 2点A(2,3), B(6,1) から等距離にある点Pの軌跡を求め ② 109 点Q の軌跡を求めよ。 P(x, y) とする。 AP= BP から ゆえに 整理して 2x-y-6=0...... ① よって, 点Pは直線 ① 上にある。 AP2=BP2 (x-2)+(y-3)2=(x-6)2+(y-1) 2 逆に,直線 ① 上の任意の点は,条件を満たす。 したがって,点Fの軌跡は 直線2x-y-6=0 次に,Q(x,y) とする。 AQ:BQ=1:3から ゆえに 9AQ²-BQ² 9{(x-2)+(y-3)^j=(x-6)2+(y-1)。 8x²-24x+8y²-52y+80=0 3 (x - ³2 )² + (x - ¹³ ) ² - (³√5)² 13 4 4 よって ゆえに,点Qは円 ②上にある。 逆に, 円 ② 上の任意の点は、条件を満たす。 したがって,点Qの軌跡は 2? 2 TOO.G 中心が点 ( 12/3 1/2), 半径が 13), 半径が 3.5 の円 3√5 2' 4 4 距離の比 ←x,y

黄色マーカーの部分について質問です。 中点のx座標がm/2になる事は理解できるのですが、y座標がどうしてmxになるのか分かりません。 *私がy座標を求めると写真2枚目のようになってしまいます。 お助けください。。。

l 止め た る。 -1 102 放物線の弦の中点の軌跡 重要 例題 直線y=mx が放物線y=x²+1 と異なる2点P, Qで交わるとする。 (2) 線分PQの中点 M の軌跡を求めよ。 (1) m のとりうる値の範囲を求めよ。 CHART O SO OLUTION 条件を満たす点の軌跡 頂点 つなぎの文字を消去し,x,yだけの関係式を導く ・・・・・・ ② 答 (1)y=mx ①, y=x2+1 ① ② からyを消去すると (1) 異なる2点で交わる yを消去したxの2次方程式が異なる2つの実数解をもつD>0 ・･② とする。 (2) 中点の座標を解と係数の関係を利用しての式で表す。 この て軌跡の方程式を求める。 ただし, (1) の条件から軌跡の範囲を調べる。 を消去し ...... x=x+1 すなわち x-mx+1=0 ③ の判別式をDとするとD=(-m)²-4=(m+2)(−2) 直線 ① と放物線 ② が異なる2点で交わるための条件は D>0 れα,βとすると, α, βは ③ の 異なる2つの実数解であるから, 解と係数の関係により α+β=m したがって,線分PQの中点 M の座標を(x,y) とすると 90 (+B) __m0から x=- y=mx 2 2' 上の2式から消去して ④より m TOUR 2 よって,求める軌跡は ...... したがって 求めるmの値の範囲は m<-22<m 4 (2) 2点P、Qのx座標をそれぞ点P y=2x2 "<-1, 1<" であるから 2 0 IP [改 星薬大 ] M 放物線y=2x2 の x<-1, 1<xの部分 a ! I OO x<-1,1<x 基本100 a+B x 2 157 =(-x) ◆直線 ① と放物線②が異 なる2点で交わるとき, 2次方程式 ③ は異なる 2つの実数解をもつ。 PATAGO 点Mは直線①上の点。 m=2xを④に代入し て2x<-222x よってx<-1,1<x と考えてもよい。 仕するの半は 図の PRACTICE･･･ 102点A(-1, 0) を通り, 傾きがαの直線をl とする。 放物線 4 3章 13 軌跡と方程式

解き方を教えてください ちなみに答えはx−3y＋3＝0です

5 月 8 の軌跡と方程式 円x2+y2+3kx+(k-2)y-6k-40の中心をPとする。 kの値が変化するとき, 中心Pはどの ような図形上を動くか。その方程式を求めよ。

数IIの軌跡と方程式の問題です。 なぜすなわちのあとにこの式になるんですか？ このあとの式もよくわかりません、、

例 50 軌跡 1024 + 点A(-2, 0) からの距離と,点 B (1, 0) からの距離の比 が12である点Pの軌跡を求めよ。 解答 点Pの座標を(x, y) とする。 30円 ROOM BE P に関する条件は AP: BP=1:2 これより 2AP BP すなわち 4AP2=BP2 AP2=(x+2)2+y, BP2=(x-1)2+y^2 を代入すると 4{(x+2)+y}=(x-1)2+y2 x²+6x+y²+5=0 整理すると すなわち (x+3)²+y²=2² したがって, 点Pは円(x+3)^2+y²=2 上にある。 逆に、この円上のすべての点P(x,y) は,条件を満たす。 よって, 求める軌跡は,点(-3, 0) を中心とする半 径2の円である。

至急です y=-(-x+2)^2+1からどうしてy=-(x-2)^2+1となるか教えてください

Q で表 ! 基本例題 100 媒介変数と軌跡TON aは定数とする。 放物線 y=x2+2(a-2)x-4α+5 について αがすべて の実数値をとって変化するとき, 頂点の軌跡を求めよ。 0808- 基本101, 重要 1 CHART ISOLUTION 解答 放物線の方程式を変形すると y={x+(a−2)}^-α²+1 x,yが変化する文字 αを用いて表される点の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yだけの関係式を導く 頂点の座標を(x,y) とするとx=(αの式), y = (aの式)の形に表される。 ここから,つなぎの文字αを消去して,xとyの関係式を導く。･････!! 放物線の頂点を P(x, y) とすると x=-α+2 ① y=-a²+1 (2) ...... ①から a=-x+2 これを②に代入して y=-(-x+2)+1 したがって 求める軌跡は 放物線y=-(x−2)2 +1 YA 1 0 1 I -3a=2 1 2 3 MOT a=0 |基本 99 a X a=-2 ty={x+(a−2)}^ -(a-2)²-4a ◆放物線y=a(x- の頂点の座標は ( つなぎの文字 α

102番についての質問です。 （2）を解くときに、解と係数の関係が使われていますが、問題を見たときにどのように解と係数の関係を使うときづけるのか教えていただきたいです。

TEALTH 上を動くとき、点Pは直線 OLUTION に関して PとQが対称 直線PQCに垂直 分PQの中点が上にある Zy+80 上を働くときの 量の関係式を導く。 に関して点Qと対称な点Pの軌跡, と考える。 ······ ・・･･ [ ご連動する点P(x, y) の軌跡 -8 INSALA / P(x,y) (5) YA √₁ 01 ① Q(s,t) 。 x Q inf 線対称な直線を深 るには, EXERCISES 71 (p.131) のような方法し あるが, 左の解答で用いた 軌跡の考え方は、直 の図形に対しても通用する ◆垂直⇔傾きの積が2 ◆線分PQの中点の座標は (x+s y+t 2¹ 2 vtt) 上の2式の辺々を加え ると 2s=2-2y 辺々を引くと -2t=2x-2 ◆s, t を消去する。 重要 例題 102 放物線の弦の中点の軌跡 00000 直線y=mx が放物線 y=x2+1 と異なる2点P, Qで交わるとする。 (1) m のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。 CHARTO SOLUTION 条件を満たす点の軌跡 つなぎの文字を消去し, x, だけの関係式を導く ・・・・・・ (1) 異なる2点で交わる ⇔yを消去したxの2次方程式が異なる2つの実数解をもつD>0 (2) 中点の座標を解と係数の関係を利用してmの式で表す。 この m を消去し て軌跡の方程式を求める。 ただし, (1) の条件から軌跡の範囲を調べる。 解答 (1) y=mx..... ①, y=x2+1 ① ② からyを消去すると mx=x2+1 すなわち x-mx+1=0...... ③ ③ の判別式をDとすると D=(-m)-4=(m+2)(−2) 直線 ① と放物線 ② が異なる2点で交わるための条件は D>0 ④より"<-1,1< 2 YA したがって 求める の値の範囲は m<-2,2<m ... ④ (2) 2点P, Qのx座標をそれぞ れβとすると, α, βは③の 異なる2つの実数解であるから 解と係数の関係により α+β=m したがって, 線分PQの中点M の座標を(x,y) とすると (a+β)_m 2 2' 上の2式からmを消去して y=2x2 よって, 求める軌跡は ・・・・・・･ ② とする。 m 2 y=mx であるから O P [改 星薬大 ] [基本 100 M 放物線y=2x2 の x<-1,1<x の部分 x<-1, 1<x 1 a a+B x 2 ◆直線 ① と放物線②が異 なる2点で交わるとき, 2次方程式 ③ は異なる 2つの実数解をもつ｡ ←点Mは直線 ① 上の点。 m=2x を ④ に代入し て2x<-222x よって x<-1, 1<x と考えてもよい。 3章 13 軌跡と方程式