数A 整数についてです 画像のように、nが5,8の倍数の時に、nは5×8=40の倍数になりますか？ また、その40と互いに素である3を掛けた120はnの倍数になりますか？ これらは一般性を持っていますか？

ハ=5k ン8k がつれこ れは400 住数 れは 20の借数

だいたい仕組みは分かるのですが、表で（1）の場合xを4、（2）ではxを8までしか求めない理由が分かりません。

発展 合同式で表される方程式 166 ●●● 例題 次の合同式を満たすxを, それぞれの法 mにおいて, x=a (modm) 74 の形で表せ。ただし, aは 0Sa<mを満たす整数とする。 (2) 3x=6 (mod 9) (1) 4x=3 (mod 5) 解答(1) 右の表より, 4x=3 (mod 5) と なるのは,x=2のときである。 =2(mod 5)答 x 0 1 2 3 4 4x|0 4 8=3 12=2 16=1 よって 別解 [左辺のxの係数を1にすることを考える] 4x=3(mod 5)の両辺に4を掛けて 16x=1·x=x (mod 5), 12=2 (mod 5) であるから =2(mod 5) 答 16x=12(mod5) (2) 下の表より, 3x=6 (mod9)となるのは, x=2, 5, 8のときである。 x 012 3 4 5 6 7 3x| 0 3 6 9=0 12=3 15=6 18=0 21=3 24=6 よって x=2, 5, 8(mod 9) 答 注意 x=a(mod m)または x=6 (mod m)を,「x=a, b (modm)」と表す。 3は何倍しても9を法として1と合同にはならないから,(2)は(1)の別解の 方法を使えない。また, 3x=6 (mod 9) の両辺を3で割って, x=2 (mod:) としてはいけない。 一般に, aと mが互いに素であるときに限り, 2) 参考 S8S ax=ay(mod m) (証明)ax=ay (mod m) → a(x-y)=mk (kは整数) aと mが互いに素であるから, x-yは mの倍数である。 x=y(mod m) が成り立つ。 E8S よって x=y(mod m) B /285 次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a (modm) の 形で表せ

解き方が分かりません。 教えていただきたいです！お願いします🙇

練習4 nは整数とする。合同式を用いて, 次のことを証明せよ。 nを3で割ったときの余りは, 0か1である。

この問題の解説のオレンジで囲った部分のマイナスはどこから来たのですか？

4.nは自然数とする。 合同式を用いて, 次のことを証明せよ。 (1) 26m-5+32w は11の倍数

数学の記述で写真の赤文字の部分((mod7))は書いたほうがいいですか？=の後に≡があるのでつけてよいのか分からないです💦

X >4 (2) 2020"&7で割ったときり年りをすnよ。 JX下、7を法とした合同式で考える。 4 2020三 4.=2 2020 三 4 三| JX下4,2,1 繰り返しとなる。 2020 三 2 2 3 2020 -2020 (3rs+)- (2000). 2020= |·424(mod/) すってすめる余りは4

青ペンのところのあまりが0.1.2となるのは何故ですか？3が入らないのは何故ですか。

274 次のことを合同式を利用して証明せよ。 4で割って3余る自然数 m は,整数 a, bを用いて m=a?+6? と表すことができない。 すべての整数nについて こロん=0(mod 4) バ=0°:o(mod 4) n-1(mod4) n=2(mod4) n=3(mod4) だき1E1(mod4) に= 4=0 Cmod 4) ne 3E q=1 (mode) よって整数a.6に対して a*+b*=0t0 0 (mock4) a'tb= 0+1= 1 ( mod4) a*tb*= (+(=2 (mod4) ゆえに at 6をチで割ったときの余りは0、1、2のuいずれか よって4で割って3余石自然数mは繁整数の、bを用いて m= at b と表すことができない.。 のいすいれかであね。

数Aの合同式の所なのですが、ａ²＋b²を4で割った時の余りが、0.1.2のいずれかである理由を教えてください。

274 次のことを合同式を利用して証明せよ。 4で割って3余る自然数 m は,整数 a, b を用いて m=a'+b? と表すことができない。 すべての整数nについて こロん= 0(mod 4) ペ=0°:o (mod 4) n=l(mod4) nシ2(mod4) だき 1(modf) 2=4=0(mod4) n=3(mod4) 2 n'e 3E q s | (mod+) よって整数a.6に対して a*+b=0t0 三 0 (mod4) a'tb'= 0+1= l1 ( mod4) atb°= (+( = 2 (mod4) ゆえに at 62をチで割ったときの余りは01、2のuずれか よって4で割って3余る自然数mは数整数の、bを用いて m= at+ b2 と表すことができないい。. のいすいれかであね。

数が大きい時の指数の直し方で簡単な方法ありますか？modの問題を解く時に厄介で💦 お願いしますm(_ _)m (例)写真 余りが1になることは分かります！

合同式を用いて,次のものを求めよ。 (1) 350 を8で割った余り (2) 2100 を7で割った余り

数Aの合同式の範囲です。a≡2(mod5) b≡4(mod5)の時a−bを5で割った時の余りは。という問題です。 答えは3なのですが、a－bをすると−2になると思うのですがそこからどのようにして求めたらいいか教えてください

なぜx=5k+2が出た時点でそれをnに代入して求めてはいけないのですか？

510 OO000 基本 例題129 1次不定方程式の応用問題 3で割ると2余り、5で割ると3余り,7で割ると4余るような自然数nで最小の 基本 127,128 ものを求めよ。 指針> 3で割ると2余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18, 23, よって,「3 で割ると2余り, 5で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると が共通の数。 8が最小である。 43と5の最小公倍数 15ずつ大きくなる。 の 8,23, 38, 53. 68, また,7で割ると4余る自然数は® 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53 の, B から,求める最小の自然数は 53 であることがわかる。 このように,書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。 そこで,問題の条件を 1次不定方程式に帰着させ,その解を求める方針で解いてみよう。 解答 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 3x-5y=1 注意 3x+2=5y+3 かつ 5y+3=7z+4 として解いてもよいが、係 数が小さい方が処理しやす の 3x+2=5y+3 から x=2, y=1 は, ①の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0 すなわち 3(x-2)35(y-1) 3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表 される。よって い。 x=5k+2(kは整数) の このとき y=3k+1 A 3x-7z=2から 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに,1を整数として 2を3x+2=7z+4に代入して 3(5k+2)+2=7z+4 ゆえに 72-15k=4 z=-8, k=-4は, ③ の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4) 7と 15 は互いに素であるから, 1を整数として, z+8=15/ と 表される。よって これをn=7z+4に代入して n=7(15/-8)+4=105/-52 8 最小となる自然数nは, I=1を代入して x=71+3 これとx=5k+2を等置し て 5k+2=71+3 よって 5k-71=1 これより,k, Iが求められ るが,方程式を解く手間 1つ増える。 ス=15/-8(7は整数) 53 検討百五減算 ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの0 とす