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練習 3次方程式 ax +3ax+a=0が異なる3個の実数解をもつとき,定数αの値の範囲を求め
③ 228 よ。
f(x)=x3+3ax2+3ax+α とする。
|HINT|
3次方程式 f(x) =0 が異なる3個の実数解をもつから,3次関 f(x)=x+3ax2+3ax+a
数 f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。
f'(x)=3x2+6ax+3a=3(x2+2ax+α)
とする。f'(x)=0の解
は求めることができない
から、f'(x) = 0 の解をα,
f(x) が極値をもつから, 2次方程式f'(x) = 0 は異なる2つのβ(α<B) として,解と係
実数解をもつ。
ゆえに,x2+2ax+a=0の判別式をDとすると D>0
数の関係を利用。
OES
D
ここで =a²-1.a=a(a−1).
よって, a(a-1) > 0から a < 0, 1 <a
①
極大値
y=f(x)|
このとき,x2+2ax+a=0の2つの解をα,β(a<β) とすると,
f(x) の増減表は次のようになる。
+
a
x
x
a
B
極小値
f'(x) + 0
0 +
f(x) 極大
極小です。
ゆえに f(a)f(B)<0
←x=αで極大値f(α),
x=βで極小値f(β) を
とる。
ここで,解と係数の関係により
a+β=-2a, ab=a
また,f(a)=f(B)=0 を利用するために,f(x)を1/3f(x) f(a),f(B)の次数を
で
下げるため。
割ると,商は x+α, 余りは2a (1-4)x+α (a-1) であるから
f(x)=(x+a)(x2+2ax+a)+2a(1-4)x+α (a-1)
よって
=(x+a)(x2+2ax+α)+α(a-1)(a-2x)=1
f(a)f(B)=a(a-1)(a-2a)xa(a-1)(a-28)
=α(a-1)^{α2-2(a+β)a+4aß}
←f'(x)=f'(B)= 0 から
α2+2ax+a=0,
=α(a-1)^{α2-2・(-2a)・a+4・a}
=a²(a-1)xa(5a+4)
① のとき, α(a-1)'>0であるから,f(a)f(B) <0より
B2+2aß+a=0
←a+β=-2a, aβ=a
a(5a+4)<0
ゆえに
44
②
<a<0
5
4
①②の共通範囲を求めて
<a<0
5
TES
