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注意
504
重要 例
60 n=k, k+1の仮定
解答
000
は自然数とする。 2数x, yの和と積が整数ならば,x”+y" は整数であるこん
を証明せよ。
指針 自然数の問題であるから、数学的帰納法で証明する。
x+yx+y* で表そうと考えると
*****y***=(x*+y*)(x+y)-xy(x*-1+y*-1)
よって、「x*+y* は整数」に加え、「x+y-1 は整数」という仮定も必要。
そこで、次の [1], [2] を示す数学的帰納法を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1,2のとき成り立つ。
初めに示すことが2つ必要。
きも成り立つ。
[2] n=k, k+1のとき成り立つと仮定すると, n=k+2のときも成
CHART 数学的帰納法
[1] n=1のとき
仮定にn=k, k+1などの場合がある。
出発点も、それに応じてn=1, 2を証明
x'+y'=x+yで 整数である。
n=2のとき
x2+y2=(x+y) 2-2xy で, 整数である。
|n=1,2のときの
整数の和差積は整
[2] n=k, k+1のとき, x”+y” が整数である, すなわち, n=k, h+1の仮定。
x+yxyk+1はともに整数であると仮定する。
n=k+2のときを考えると
x+2+y+2 = (x+1+y+1)(x + y) −xy(x+y)
x+y, xy は整数であるから, 仮定により, xk+2+yk+2
も整数である。
よって, n=k+2のときにも x "+y” は整数である。
[1], [2] から, すべての自然数nについて,x"+y” は整数で
ある。
=2のときの
整数の和差積は整
重要
[2]の仮定でn=k-1,k とすると,k-121の条件からk2としなければならない
上の解答で n=k, k+1としたのは, それを避けるためである。
数列{am)
が成り立
指針
検討
n=kk+1のときを仮定する数学的帰納法
自然数nに関する命題P(n) について 指針の [1], [2] が示されたとすると、
P(1) P(2) が成り立つから, ([2]により) P(3) が成り立つ
→P(2),P(3) が成り立つから,P(4) が成り立つ→......
これを繰り返すことにより, すべての自然数nについて P(n) が成り立つことがわか
練習 α=1+√2,β=1-√2 に対して, Pn=a+β" とする。 このとき,P,およ
② 60 値を求めよ。 また, すべての自然数nに対して,Pは4の倍数ではない
ることを証明せよ。
[
