(2)の問題について質問です！右ページの5行目の波戦のところです。この式はわざわざ立てる必要があるんでしょうか？判別式>0のみで求まらない理由しりたいです！

50 第2章 複素数と方程式 基礎問 30 高次方程式 3次式(2-1)x-2(a-1)x+2 を因数分解せよ. に関する方程式 x³-(2a-1)x²-2(a-1)x+2=0 com (2) (1)より (x+1) (2-2ax+2)=0 ......① x=-1, x²-2ax+2=0.2 ①が異なる3つの実数解をもつので、 ②がx=-1 以外の異なる2つの実数解をもてばよい。 ②がx=-1 を解い が異なる3つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。 よって, [(-1)²=2(-1)+2+0 a²-2>0 わざわざおく意味 とは? もつと異なる3つ 解にならない (1)3次式の因数分解といえば, 因数定理 (27) もちろん、これで解答が作れます (解I) が, 数学Ⅰで a 2 la<-√2√2<a い文字について整理する 文字が2種類以上ある式を因数分解するときは, 次数の一番低 注 ということを学んでいます。 (I・A4 Ⅱ) 復習も兼ねて、こちらでも解答を作ってみます (解ⅡI ) 解答 (1) (解Ⅰ) f(x)=-(2a-1)-2(α-1)x+2 とおく. f(-1)=-1-(2a-1)+2(a-1)+2 (2)(1)より(1次式) (2次式)=0 の形にできました。 (1次式) = 0 から解が決まるので,(2次式) =0が異なる2つの実数解を もてばよいように思えますが、これだけでは不十分です. 注 は因数分解できないので, (判別式) >0 を使います. 2-2ax+2=0 したがって, 求めるαの値の範囲は a<- 12/1-12/21 <a<-√2,√2<a (1) (解I) と (解ⅡI) の違いは, (解I) では f (x)のxに何を代入 するかを自分で見つけてこないといけないのに, (解ⅡI) ではその必要 定数項の約数 最高次の係数の約数 がありません. 代入するæは,土 しかないこと が知られています. だから, 代入するxの値の候補は±1, ±2の4つ しかないのです. 2 < 「f(x)=」 とおくの ポイント 高次方程式は, 2次以下の整式の積に因数分解して考 える =-1-2a+1+2a-2+2=0 は,因数定理を使う 準備 注 因数分解できなくても、 このあと学ぶ微分法を使うと解決します。 (95) よって, f(x)は+1 を因数にもち, xに数字を代入した (解Ⅱ) f(x)=(x+1)(x2-2ax+2) x³-(2a-1)x2-2(a-1)x+2 ときに, αが消える 演習問題 30 ことから, f(-1)=0 を想像する 複素数 1+iを1つの解とする実数係数の3次方程式 x+ax²+bx+c=0 ......① =(z+x2+2x+2)-2('+xa について,次の問いに答えよ. (1) b, c をαで表せ. =x2(x+1)+2(x+1)-2(x+1)a =(x+1){(x2+2)-2ax} =(x+1)(x-2ax+2) (2) ① の実数解をαで表せ. (3) 方程式 ①と方程式 - bx+3= 0 ･･････ ② がただ1つの実数解 を共有するとき, a, b c の値を求めよ.

［解答］の一行目、 f(x)=ax^2+bx+c を微分してf(x)=2ax+b f(0)=2 から　c=2 ↑だけ微分をする前の式（f(x)=ax^2+bx+c ）に代入しているのは、fに点がついていないからですか？（f'です）

CONNECT 37 関数の決定(微分係数の利用) 次の条件をすべて満たす2次関数 f(x) を求めよ。 f(0) =2, f'(0)=-3, f'(1)=1 考え方 f(x)は2次関数であるから, f(x) =ax2+bx+c (a≠0) とおき, 問題391 と同 様に計算して a, b, c の値を求める。 ひふん 解答 f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると f'(x) =2ax+b f(0)=2 から c=2 f'(0)=-3 から b=-3 f'(1)=1 から 2a+b=1 ゆえに すなわち よって 2a-3=1 a=2 これはα≠0を満たす。 f(x)=2x2-3x+2 88

381（2）の問題です。 2枚目の解答画像の2行目で分子が、 ｛-(a+h)^2 + 3(a+h)｝-(-a^2+3a)って書いています。 この、-(-a^2+3a)はどこからやってきたんですか？ 3枚目の画像『微分係数の公式』　の分子部分 f(a+h)-f(a) は... 続きを読む

381 次の関数の, 与えられたxの値における微分係数を求めよ。 教p.211 例3 (1) f(x)=2x2 (x=2) *(2) f(x)=-x2+3x (x=a) 382 関数 y=-2x2 のグラフ上の次の点における接線の傾きを求めよ。

378（2）の問題の解答です。 青の印から赤の印の形にする方法がわかりません。

b-a = b-a - 378 (1) (4b — 1) — (4a — 1) — 4(ba) - 4 In 888 (2) (3) = (62-2b+2)-(a2-2a+2) b-a (62-a2)-2(b-a) (b-a)(b+a-2) b-a =b+a-2 + (63-b)-(a3-a) b-a = b-a =18 A (63-a3)-(b-a) (b-a)(b²+ba+a2-1)

この問題について質問です グラフの形について疑問があります｡ y=0でのグラフの頂点は尖り具合が急ですが，y=-π，πは頂点の尖り具合が緩いのは何でですか？

基本 例題 108 関数の に注目 | 関数 y=4cosx+cos 2x (-2π≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。 0000 基本107 109.11 指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題 107 同様 定義域, 増減と極 凹凸と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが、特に、 性に注目すると,増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。 f(x)=f(x) が成り立つ (偶関数) f(x)=-f(x)が成り立つ (奇関数) グラフは軸対称 グラフは原点対称 (数学II) 20≦x≦2mの範囲で増減 凹凸を調べて表にまとめ, 0≦x≦2 におけるグラフを この問題の関数は偶関数であり, y'= 0, y" =0の解の数がやや多くなるから、 に関して対称に折り返したものを利用する。 y=f(x) とすると,f(-x)=f(x) であるから, グラフはycos (一)=cos 解答 軸に関して対称である。 y=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxcosx =-4sinx(cosx+1) y" =-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)} =−4(cosx+1)(2cosx−1) 0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 また は cosx+1=0 から x=π y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0または2cosx-1=0 12倍角の公式。 y=-4 sinx-2sin2x を微分。 (*)の式で, cosx+1≧0に注意。 sinx, 2cosx-1の符号 に注目。 π 5 から x= π, π 3 よって, 0≦x≦2 におけるyの増減, 凹凸は,次の表のよ うになる。(*) π x 0 π 3 y' --- 0 5 2 20 (0- y" + 20 e 32 -3 ↑ 032 5 ゆえに、グラフの対称性により, 求めるグラフは図 π 参考 上の例題の関数について ++ 53 + TT ... y +dx)------- 15 TC 3 32 π π 2π 3 '5 π 253 π 3

微積の問題で、(5)についての質問です。 写真2枚目が答えなのですが、(5)の変形がどうしてこうなるのか分からないので解説して頂けませんか。よろしくお願いします！

問1. 合成関数の微分の公式 (257) を用いて、つぎの合成関数について dz を求めよ: dt (1) z=y2-x, x=pt², y=2pt (pは定数). (2) z=x2+v2, x=2 cost, y=3sint. (3) z=x2-22, x=cosh t, y=2sinht. (4) z=sin x cos y, x=e', y = log t. (5) z=cos x sinh y, x=t2. y=logt. * (6) z=10g (x2+y2), x=acost, y = bsint (a>0, 6>0).

数Ⅲの微分法の問題です。左写真の(3)の問題で、右写真の赤線部のa‹n›-αがどこからでてきて、そのあとにどんな計算をしていたのかがよくわからないので、教えてほしいです。

wwwww 練習 1.3 求めよ。 328 の中の f(x) = 1 e+1 とする. Antlia (ポンプ座) Antt *列 にのをまだ 2 は性 (1) f(x) の増減を調べ, 曲線y=f(x) の概形をかけ. (2) f'(x)のとり得る値の範囲を求めよ. (3)曲線y=f(x) 直線 y=xはただ1点のみで交わる。この交点のx座標を とする. an+1=f(an) (n=1, 2, 3, ...) で定められた数列{a} について, (i) 平均値の定理を用いて, 6 5. ||an+1-a|≤an-a (n=1, 2, 3, ...) 基本的 が成り立つことを示せ. (1) 数列{an)は,初項 α」の値によらずαに収束することを示せ. では 平均値 文字を

この問題、hの範囲は考えていますがrの範囲は考えなくてよいのですか？ どなたか教えて下さい。

107 図形と最大最小 h, 微分積分 半径1の球面に内接する円柱について考える.このような円柱の高さを (1)んで表せ 底面の円の半径を、体積をV とする. (2) Vの最大値を求めよ. が成り立つ、したがって, r = 解答 (1) 図の三角形OAB に三平方の定理を用いると +(1/2)=1より、ニゲ 4-h (長崎大) 4 4 √√4-h² O 2 (2)(1)の結果を用いると, V = r²h=π- 4-h² 4 h=(4-h²) h 2 B ここで,f(n)=(4-1)n=(4h-h) とすると, f'(h)=(4-3h²)=√3h+2)(√3h-2) 条件より, 0くん<2であり, この範囲における増 減表は右のようになる。 球面の半径が1 (直径2) であるから,0くん<2であ ることにも注意して考える 2 h 0 ... 2 3 2 以上より,Vはん=- で最大になり,最大値は, [f'(h) + 0 √3 九 2 4√3 f(h) > 最大 4- = -π √3 9 解説講義 f(h)=(4-h²)hh= を代入した 2 √3 2次関数の最大最小問題では「頂点」と「定義域の端の値」に注目した.3次関数の最大 最小問題では「極値」と「定義域の端の値」に注目してみるとよい。ただし,2次関数のと きと同じように、定義域をきちんと確認しないといけない. 本間では,円柱が半径1の球面 に内接しているので,高さんは0くん<2である. このような定義域(範囲の制限)のある関数の増減表を書くときは、定義域の左端と右端 が入る欄を用意して書くことが一般的である.また,増減表の3行目の矢印からんの ときにf (h)が最大になることが読み取れるので, グラフを描く必要はない. 文系 数学の必勝ポイント 3次関数の最大最小問題 √3 「極値」と「定義域の端の値」に注目する

(2)です。解答の途中でx=0のとき~とあるのですがこれはy=g(x)に代入していると思うのですがこれはどういう考え方なのでしょうか。求めたいのはg’(0)であって、g(x)にx=0を代入しても全く別の値が出てくるのではないでしょうか。どういう考え方をしているのか教えて頂き... 続きを読む

114 12/14 7/10 基本(例題 65 逆関数の微分法,x (p は有理数)の導関数 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 (2)y=x3+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数g (0) を求めよ。 (3) 次の関数を微分せよ。 (ア) y=1x3 (イ)y=√x2+3 P.110 基本事項 指針 (1),(2)逆関数の微分法の公式 dy 1 - を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=x3の逆関数は x=y(すなわち y=x) x をyの関数とみてyで微分し、最後にy を x の関数で表す。 (2)y=g(x)として,(1) と同様に g'(x) を計算すると,g(x)はyで表される。 (3) →x=0のときのyの値[=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 が有理数のとき (xb)'=px-1 (1) y=x3の逆関数は, x=y を満たす。 を利用。 別解 (1) y=x3 の逆関数 解答 dx よって =3y2 dy ゆえに、x=0 のとき dy_1 1_1 11 = = = dx dx x 3y2 2 3(ya)a 3x 3/3 2 3 dy y=x3で dy=(x3)'=x} 2 dx (2) y=g(x) とすると, 条件から x=y3+3y... ① が満 関数f(x) とその逆関数 とすると,条件から たされる。 ①から g'(x)=dy 1_1 == dx dx 3y2+3 dy x=0のとき 3+3y=0 すなわち y ( y2+3)=0 y2+3>0であるから f'(x)について y=f(x)=x=f-l(y)| の関係があること(p.24 基本事項20) に注意。 y=0 したがって 1 g'(0) = 1 302+3 3 S (3) (7) (331 3

(1)です。写真のようにy=x’3を代入してxの式にするのは誤りですか？回答よろしくお願いします。

基本 例題 65 逆関数の微分法,x (カは有理数 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 (2)v=x+3xの逆関数を g(x) とするとき,微分係数 g' (0) を求めよ (3) 次の関数を微分せよ。 (イ) y=√x2+3 p.110 基 (ア) y=x3 指針 (1),(2)逆関数の微分法の公式 dy 1 を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=x3の逆関数は x=y(すなわち y=xl xをyの関数とみてyで微分し、最後にy をxの関数で表す。 (2) y=g(x) として, (1) と同様にg(x) を計算すると, g'(x)はy で表され (3) →x=0のときのyの値[=g(0)] を求め, それを利用してg' (0) を求め (x)'=px-1 有理数のとき (1) y=x3の逆関数は, x=yを満たす。 答 dx よって -=3y2 dy ゆえに、x=0 のとき dy 1 = dx を利用。 y = x²²λ 別解 (1) は y=xで できませんか? dy =(x dx 1 = = dx dy = / 1 1 2 3x² 3(y³) 3x3 = 3 XC