二次関数の問題です。 なぜ上に凸のグラフと分かるのでしょうか？😭

Check 三角関数の最大・最小 (1) 関数 y=2cos0-asin' (aは定数)において, 0 0≧0≦1/32πの範 PETER 囲で動くとき,yの最小値を求めよ.ただし, a <0 とする. 例題138 考え方 ■解答 30-10 ☆ 2 cosa=tとおくと,関数yはtの2次式で表せ,0≦0/1より、 与えられた式に sin'0=1-cos' を代入すると, ano+y=2 cos 0-a(1-cos²0) >=acos20+2cos0-a Cosa=t とおくと, 0≦01/23より, STERSUNS あり ## $ 2-1 f(t)= a(t+1)²_1_a y=at2+2t-a 置き換えた f(t)=a+2t-a とすると、a≠0 より範囲も確認。 関数y=f(t) のグラフは,軸の方程式が =-1 (0) で、上に凸の放物線である。 (12/12/24 き a 640 10T また、tの変域 12 ≦t≦1の中央は、t=1/12 である。 ex@enie-t である。 102 a<0 £y, a<-4 (ii) Orie-(0%ale-1) 4 a a<0より, -4≤a<0 f(t) の最小値は, f(t) の最小値はよりなの。 m=f(1)=2 No したがって 2 m= ①で sin Sy a-1 (-4sa<0) 3 n = s(-²/2) == -29-²0) > 150 m= -a 上 >>-- .0 I-=1020 (a<-4)->0 (立命館大・改) 2 ** ≦t≦1 である. 102 VAI 1 10 (ii) y 10mia Acetocs 8mie-13 (1)=x VER a a asino 第2

二次関数の問題についてです。 （問題は写真を見ていただきたいです）場合分けをしていて、今回は a<０のとき です。 黒が私の考えている過程なのですが、解答と合いません。赤が正しいです。 どこで間違えているのか、説明をお願いします。

40 ep. 158 問題 練習 71 関数 f(x)=ax²+2ax+b(1≦x≦3) の最大値が10, 最小値が−2となる とき,定数a,bの値を求めよ。 FD (iii) a<0 & J = = a (x + 1)² +a+h acoのとき (-1₁a + h) x=-1 上に凸 3 ①、②を解く x=1でMax f(x) = -a(1+√5 +a+h 10 = Bath. 1 x= 37 min f(x) - 3a + li p.158 問題71 a (3 + ² +a+hi -2= -15atch = 2 = 15a + h - 3a +h= 10 15a - l = 2 (20 =12 aid a=-1 141

なぜ左辺は(2n+1)次式で右辺は(n+3)次式と表されるのてすか？

11. 整式f(x)がxについての恒等式 xf(x2-1)-5f(x)=(x+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29 を満たすとする. (1) f(x) の次数を求めよ. (2) f(x) を求めよ. (宮崎大改)

（2）です 場合分けのところで -1/a＜1/4　1/4≦-1/a とありますが -1/a≦1/4　1/4＜-1/a じゃだめですか？

58 第4章 三角関数 Think 各 数学 夏期宿題チェックシート . 例題132 三角関数の最大 最小 (1) 次の問いに答えよ。 (1) 002mのとき, y=-Cos' 0-2sin0-1 の最大値、最小値を 求めよ. 2 関数 y=2cos0 - asin' (aは定数) において, 0 が 0≧0≦ の範囲で動くとき, y の最小値を求めよ. ただし, a <0 とする。 37 (立命館大・改) 替え方 例題 130 (p.255) と同様に, まずは三角関数の種類を統一する . sind や cost をもとおくと、関数yはtの2次式で表すことができる. の範囲に注意して,t の値の範囲を考える. (1) 与えられた式に cos'0=1sin' を代入すると, y=-2t-2 =(t-1)²-3 したがって, -1≦t≦1において, t=-1 のとき, 最大値1 t=1のとき 最小値-3 K y=-(1-sin²0)-2sin0-1 =sin³0-2 sin 0-2 ここで, sing=tとおくと, 0≦0<2πより, 1≦t≦1 であり ここで, t=-1, すなわち, sin0=-1のとき, 3 002m より0= 49 CHIU 61 62 よって0= WW π t=1, すなわち, sin0=1のとき, 0≦02mより0= π 2 のとき,最大値1 3 1 文字でおくときは、 の文字のとる値の に注意する.

記述でこの解法でも満点もらえますか？

基本 例題 86 2変数関数の最大 最小 (1) (1)x+2y=3のとき, 2x2+y2 の最小値を求めよ。 (2) x≧0、y≧0, 2x+y=8のとき,xyの最大値と最小値を求めよ。 BROHOV 13639077 H 指針 (1) のx+2y=3, (2) の2x+y=8のような問題の前提となる式を条件式という。 4300 CHART 条件式 文字を減らす方針で 変域に注意 条件式がある問題では, 文字を消去する方針で進めるとよい。 (1) 条件式x+2y=3から x=-2y+3 2(-2y+3)^2+y2となり,xが消えて1変数yの2次式になる。 これを2x2+y2に代入すると, →基本形α(y-b) +αに直す方針で解決! (2) 条件式からy=-2x+8としてyを消去する。 ただし、次の点に要注意。 HARI 消去する文字の条件 (y≧0) を,残る文字(x) の条件におき換えておく 解答 (1)x+2y=3から x=-2y+3 ゆえに 2x2+y2=2(-2y+3)^+y²=9y²-24y+18 よって, y= of si-01/28y+(1/4)-9.(14) 2+18=9(y-123) +2 で最小値2をとる。 4 3 このとき, ①から したがって x= 1 3 ...... =-2. 4 3 y=1/30 のとき最小値 2 ① ゆえに x≤4 x=- _2) 2x+y=8 から y=-2x+8 y≧0であるから -2x+8≧0 +3= (1) ...... x≧0との共通範囲は 0≤x≤4 また xy=x(-2x+8)=-2x²+8x =-2(x2-4x+2)+2・22 ...... =-2(x-2)^+8 ②の範囲において,xy は、x=2で最大値8をとり, x = 0, 4で最小値0 をとる。 ①から,xの値に対応したyの値を求めて (x,y)=(2,4) のとき最大値8 (x,y)=(08), (40) のとき最小値 0 <x を消去。y=-x+3 と [熊本商大] して, y を消去すると,分 数が出てくるので,代入後 の計算が面倒。 重要 118 <t=g(y-1/28 ) 2+2のグラフ lt=9 は下に凸で,yの変域は実 数全体頂点で最小。 (x,y)=(1/23 1/28) のよう に表すこともある。 xy=tとおいたときの t=-2(x-2)^+8 (0≦x≦4) のグラフ ta 最大 18-- 最小 O 2 4₁ d 1 最小 練習 (1) 3.x-y=2のとき, 2x2-y2 の最大値を求めよ。 36 (2) x≧0 y≧0,x+2y=1のとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 x T8 139 18 10 2次関数の最大・最小と決定 3章 10

青チャートIIのEX38の質問です。まず黄色線の所が何故そうなるのかが分からないです。また、何故この問題の答えが最小となるのかが分からないです。

EX x2 +1 で割ると3x+2余り, x+x+1で割ると2x+3余るようなxの整式のうちで,次数が最 ④38 小のものを求めよ。 HINT整式を P(x) とし, 割る式x2+1, x2+x+1の積(x2+1)(x2+x+1) で割ったときの割り算の 基本等式 P(x) = (x2+1)(x²+x+1)Q(x)+R(x) に注目する。 P(x) を x2 +1, x2+x+1 で割ったときの余りは、 R(x) を x2 +1, x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しい。 X=(3)0 整式 P(x) を4次式(x2+1)(x2+x+1) で割ったときの商を Q(x), 余りをR(x) とすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x2+1)(x2+x+1)Q(x)+R(x) R(x) は3次以下 P(x) を x2 +1, x2+x+1で割ったときの余りは,R(x) を x2+1, x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから, 求める整式は R(x) [3次以下の式] である。 +48-8)\ R(x) を x2 +1で割ったときの商は, 1次式または定数であり, 条件から R(x)=(x2+1)(ax+b)+3x+2 E=T+DS S 同様に R(x)=(x2+x+1)(ax+c)+2x+3 と書ける。 よって (x2+1)(ax+b)+3x+2= (x2+x+1)(ax+c)+2x+3 これは x についての恒等式である。 両辺を展開して, 整理すると ax²+bx2+(a+3)x+b+2=ax²+(a+c)x2+(a+c+2)x+c+3 a=1,b=2,c=1 ^)\ ←4次式で割ったときの 余りは, 3次以下の式ま 定数 存 Q. R(x)=(x2+1)(x+2)+3x+2=x+2x²+4x+4 5+3=(1)\ ANT ←3次以下の式 R(x) を 2次式x2+1で割ったと のは、 1次式または 係数を比較して b=a+c, a+3=a+c+2, 6+2=c+3比較法。 これを解くと したがって、求める整式は 定数 X3

1番です。正攻法は置き換えなのは理解しましたが、 これでも大丈夫ですか？？ また、置き換えることで数Ⅲの知識を使わずに求められるということですか？

重要 例題 88 4 次関数の最大・最小 (1) 関数y=x-6x² +10 の最小値を求めよ。 (2) -1≦x≦1のとき, 関数y= (x2-2x-1)-6(x-2x-1)+5の最大値 最小 値を求めよ。 (2) 名城大] 基本77 ! 指針▷4次関数の問題であるが,おき換えを利用することにより, 2次関数の最大･最小の問題 に帰着できる。 なお, = t などとおき換えたときは,tの変域に要注意! (2) 繰り返し出てくる式x-2x-1 を=1 とおく。 -1≦x≦1におけるx-2x-1の値域 がtの変域になる。 CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意 解答 (1) x=t とおくと t≧0 tの式で表すと y=t²-6t+10=(t-3)2 +1 t≧0の範囲において, y はt=3のとき 最小となる。 このとき x=± √3 1- よって x=±√3のとき最小値1 3 (2) x²-2x-1=tとおくと t=(x-1)^-2 I-1≦x≦1 から -2≦t≦2...... ① yをtの式で表すと y=t²-6t+5=(t-3)²-4 ①の範囲において,yは t=-2で最大値 21, t=2で最小値-3 をとる。 t=-2のとき ゆえに よって t=2のとき ゆえに よって -1≦x≦1 を満たす解は x=-1 以上からx=1のとき最大値21, x=-1のとき最小値-3 (x-1)^-2=-2 (x-1)²=0 |x=1 (x-1)^2=2 (x-1)²=4 x=-1,3 Ay 10 最大 最大21 y-t²-6t+10 最小 -2; 01/3 最小 最小 00000 t ********* (実数 このかくれた条件に注意。 4y=(x²)²-6x² +10 の2次式基本形に。 <t=3 つまりx=3を解く と x=± √3 <t=x²-2x-1 (-1≦x≦1) のグラフからtの変域を判 断。 (x-1)^2=4から x-1=±2でもよい。 この確認を忘れずに。 141 01 2次関数の最大・最小と決定 3章

（2）がわからないです😭細かく教えてくれると嬉しいです。 答えa>0とき　0<a=<2/1 5=<a a<0とき　存在しない。

[2] 次の問題について,太郎さん、花子さん、先生の会話を読んで、以下の問いに答えよ。 問題 不等式 α(x-a)(x-2a)>0 ･･① がある。 ただし,αは0でない定数とする。 1<x<5を満たすすべてのxが不等式 ① を満たすとき,aのとり得る値の範囲を求めよ。 太郎 : 不等式①の左辺はxについての2次式だから, グラフで考えてみたらどうかな。 花子:xについての2次関数y=a(x-a)(x-2a) のグラフは, a>0 のとき, (ア) a<0のとき, (イ)のようになるね。 OCH 太郎: グラフを参考にして不等式①を解くど, a>0のとき だね。 - (x)+(x)¶ = (x)¶‚†‡ $650=(1)9=U¶,0** 先生:では,ここまでの結果を用いて問題を解いてみましょう。 (1) で答えよ。 1 (085) 14WRXES) (S). 2 4 100=(x) (of ** UI a 2a 2a/3 a A に当てはまるものを、次の1~4のうちから一つずつ選び,番 a また, (ウ) 号で答えよ。 1 a<x<2a (2) 問題を解け｡ (イ) に当てはまるグラフを,次の1~4のうちから一つずつ選び,番号 2a XC 2a 2 2a <x<a a XC a<0 のとき, 3 x 3x<a₁ 3 x<a, 2a<x 4 x<2a, a< x (配点 10)

答えなら最後の最小値3分の8√2になるんですが、どう計算しても3分の2√2になってしまいます 良ければ計算式書いて欲しいです

で囲まれ 3 r t 基本 210 y=ax +3x\ x 219 219 面積の最大･最小(1) 基本例題 曲線:y=x2 点 (26) を通る傾きがmの直線lについて (α<B) とおいて, β-α を mを用いて表せ。 (1) l と C が異なる2つの共有点をもつことを示し, 共有点のx座標をα, β (2) lとCで囲まれた部分の面積の最小値とそのときのmの値を求めよ。 SOLUTION CHARTO 放物線と面積S(x-a)(x-3)dx=-12(B-α)" を活用 (1) 直線l の方程式は y=m(x-2)+6 x=m(x-2)+6 すなわち x-mx+2(m-3)=0 の判別式をDとすると 面積(mの2次式)123となるから、まず(mの2次式)の最小値を求める。 よって, lとCは異なる2つの共有点をもつ。 α,B(α<B) は、2次方程式 ① の解であるから B-a=m+√D_m-√D 2 2 (2) ℓとCで囲まれた部分の面積を Sとすると, 右の図から s={m(x-2)+6-x2}dx 04 =-f(xーmx+2(m-3)}dx = f(x-2)(x-B)dx =-(-1) (8-a)² = (8-α)³² (1) から で最小値- 方程式 ① の実数解があ れば,それはlとCの D=(-m)²-4・2(m-3)=(m-4)2+8>0bfb-F共有点のx座標となるB-4ac 124 24 het LB- S= 8√2 3 √D=√√m²-8m+24 をとる。 6 S 00000 a 0 2β 3 | 基本 210 よって 2 (B-a)²(a+8)²-4aß =m²-4.2(m-3) =(√m²-8m+24) ³ = ¹ {(m-4)²+8} ² =m²-8m+24 (-4)2 +8はm=4 で最小値 8 をとるから, Sは, m=4β-α=√m²-8m+24 β-α>0 であるから ÷12=26 の部分!! α, β の値は解の公式か ら求める。 また D=m²-8m+24 β-αの計算 5 解と係数の関係を用いても よい。 6 α, βは①の2つの解であ るから α+β=m, ・8√8 PRACTICE･･･ 219 ③ 3 (1) 2つの放物線が異なる2つの共有点をもつための実数 α の条件を求めよ。 2つの放物線y=-2(x-a)2 +3a, y=x2 について (2) (1) のとき、2つの放物線で囲まれた部分の面積の最大値を求めよ。 327 8√2 3 7章 25

2次方程式を選ぶ問題で分からないので教えて頂きたいたいですm(_ _)m

基本 1. 次の方程式のうち、xについての2次方程 式はどれですか。 ア 6x + 4 = 0 ⑦ x² -3=0 イ 2x² -3 + 1 = 0 3x I 2x² = 5x オ x + 2x=x2+x-6 ⑦ 32²² 43 +1 = -2²