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例題15
二項係数の関係式(2))左の二
(1) nCo²+nC₁²+nC₂²+nC3²+...+nCn²=2nCn+0+0+1
(2) 2≦n,r=1, 2, ......,n-1 のとき, nCr=n-1Cr+n-iCr-1)
解答
を正の整数として,次の等式を証明せよ.
niton
考え方 (1) (1+x)2n=(1+x)*(x+1)" であるから, (1+x) 2" の展開式におけるxの係数と
(1+x)" x(x+1)”の展開式における x” の係数は一致する。
(2)(x)=(1+x)・(1+x)"-1 であり,両辺のxの係数は一致する。
Focus
(1) 二項定理 (a+b)"=nCoa"+nCia"-16+nCza”-262+..+nCnb" において、
(1+x)"=nCo+nC1x+nC2x2+......+nCnx
a=1,b=x とおくと,
a=x, b=1 とおくと, (x+1)"=nCox"+nCixn-1+nCzxn-2
(1+x)?n=(1+x)*(x+1)” が成り立ち,
( 1+x) の展開式におけるx" の係数は 2nCn
‡†,
"(t
0 N
(1+x)".(x+1)"=(nCo+nC₁x+nC₂x² + +nCnx²)
400 p
ID.FI
の展開式における x” の係数は,
X(nCox"+nCix"+nС₂x²=²++C₂)
n CoXnCo+nCiXnC1+nC2XnC2+......+nCnXnCn
=nC2+nC2+nC2+nC2+..+nCn²
·②
(1)約①,②は一致するから,nC2+C1+nC2+nC2+......+nC7²=2nCn
(2)
(1+x)=(1+x)・(1+x)"-1 である.
(右辺)=(1+x) (n-1 Co+n-1 Cix+n-1 C2x2+......+n-1Cn-1xn-1)
の展開式における x”の係数は、2≦n,r=1,2,..,n-1 より,
+-(S-1)
これは,左辺 (1+x)” の展開式における x”の係数nCr と一致する .
よって, 2≦n,r=1, 2,... n-1 のとき, Cr=1Cr+n-iCr-1
は
*(S-)n-1Cr+n-1 Cr-1 C&3.+1)+(8-)
(1+x)^2=(1+x)*(x+1)", (1+x)"=(1+x)・(1+x)"-1 などの
展開式における係数から、二項係数のいろいろな関係式が生まれる
(1) „Co²+nC²³+nC₂²+nC3²³++nCn² = 2nn ³***
n 個の異なる赤玉と, n個の異なる白玉がある。
(10+0 €
Ste
(2) Cr=-1Cr+n-Cr-1 が表す意味
人の中から人を選ぶ方法 (nCr 通り)は,ある特定の1人を含まない
**
+0.2
この異なる2n個の玉から, n個の玉を取り出す組合せの数 2nCn は、赤玉の個数で
場合分けして,赤玉k(0≦k≦n)個と白玉 (n-k)個を取る組合せの数の積
nCk nCn-k=nCk*nCr=nCr²
Lv.
p.23
1
**
残り (n-1) 人の中から人を選ぶ方法 (1C通り) と, その特定の1人を必ず含
む,つまり,残り (n-1) 人の中から(r-1)
つまり、
めたものである。
2
p.24
**
p.27
*
p.2
4
1
