(先程と似たような質問になりますが)部分積分の公式についてですが、青丸部分の中に積分定数が含まれているから、赤丸部分の積分定数は省かれているのでしょうか？

部分積分法 4 f(x)g'(x) dx = f(x) g(x) f'(x) g(x) dx

部分積分の公式についてですが、赤丸部分に積分定数(C)が含まれているから、右辺に+Cをつけなくて良いとのことですが、赤丸部分に積分定数(C)が含まれているというのがどういうことなのかわからないです。 解説おねがいします。

部分積分法 4_Sf(x)g'(x) dx=f(x)g(x)—Sƒ'(x)g(x) dx

この続きの解き方を詳しく教えて欲しいです

▽ ✓ (2) ST e fx1 xlogxdx S

部分積分法や置換積分法って何種類かあると思いますがどこで判断して使い分けるのが分かりやすいですか？ 今はなんとなくこれだ！っていうのでやっているので、これだからこれを使うという確証がほしいです。

数３積分の問題なんですけど、（1）の2.3行目に書かれている0との大小比較はどのように行えば良いのでしょうか？

x3 AN 334- 数学ⅡI EX ©210 a> 0に対し, f(a)=lim lax+xlogxdx とおくとき 次の問いに答えよ。 必要ならば, 1-+001 limt logt=0 ( 1 2 ......) を用いてよい。 1+0 ① f (a) を求めよ。 aが正の実数全体を動くとき, f(α) の最小値とそのときのαの値を求めよ。 3 (1) g(x)=ax+xlogx よって 0< x≤eª g(x)=x(logx+a) g(x) ≤0 x≧e-a のとき g(x)=0 また、a>0のとき,0<e "<1である。 t→+0のときを考えるから, tを十分小さくとると S₁lg(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+Sr_a9(x)dx == g(x)dx=f(ax+xlog x) dx x² 2 = x² + logx-S²dx = x²(a+logx)-x²+C x²(2logx+2a-1)+C (C1) 4-311 よって, G(x)=x2 (210gx+2a-1) とすると e-a S₁lg(x) dx=[-G(x)] + [G(x)]. e-a =G(t)+G(1)-2G(e-a) ここで, limt2logt=0であるから lim G(t)=0 したがって t→+0 t→+0 (2) (1) から f'(a)=1/12(-2-20)+1/12--0-20+12/2 よってa=12/2log2 -2a- ƒ(a)=lim{G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e¯ª)); ←f(a) a 1 =(2a-1)-2. e.(-1)= 1 e ² + 2 -- -2a -2a 4 (1+x) f'(a)=0 とするとe ゆえに, a>0 におけるf(α) の増減表は右のようになる。 したがって, f(a) は a = log2で最小となる。 最小値は12/2102)-1/12-0 og e a 0 . f'(a) f(a) : - -log 2 +log 2- 4 4 +₁ 4 2 log 2 = 1/2+1/2+11og2-1=11og2 4 4 0 極小 |←logx+a=0 とすると log x=-a よってx=e-a : + [埼玉大] ←部分積分法。 Sxlogxdx=logxdx yoll ←=G(ea) +G(t) +G(1)-G(ea) ←G(t)=logt +1-1²(2a-1) =S₁lax+xlogx|dx (広義の定積分) O ←-2a=log YA 1 2 y=-(A)*+/ log2 a

数３積分の問題です。（3）の青い波全部のところはどこから出てきたのでしょうか。

EX Ⓒ209 x-3 (1) 1₁=S²x−³ dx=S²(1− ³)dx=[x−3logx] =1-31og²2 2 nが正の整数のとき,In=(x-3)" dx とする。 ●1) L を求めよ。 ●(2) 2=x=3のとき x=3のとりうる値の範囲を求めよ。また,lim In を求めよ。 (3) In+1 を In を用いて表せ。 (4) (+1)-1/2)を求めよ。 n=1 このとき よって したがって (2) 230 231 2 151-250 +3. 153. 153 - 12/1 2≦x≦3のとき 3 ゆえに したがって lim 72400 すなわち 1 2" n (x−3)” 0≤ Inl= |S² (x-3)" dx ≤S") (x-3)^ |dx = 5.2" dx 3 1 | 2 nx” nx" n 5) 5+(1-DS+xs -=0であるから 1 n+1 == 0≦x=3121/ x-3 | * = ³ = ( ² )" x 1 x-3 n | (x-3)" |- - - | x=³ | ≤ 2 ² 11 1 n 2"n 0≤| In≤ 00 (4) (3) の結果から n=1 S (3) In+1=√₁ (n+1)x²+1 dx = 7+1 S² (1²) - (x-3)²+¹ dx n+ n+1 nx" m - 1 2"n nx n n(n+1) ( - 1² ) ² + 1₂ n=1 lim In=0 12-0 xb(z)g+xb((x)0-) -able) 2 2xb(xgolz+x0)( 553 Sa+3 (1-5+*gols)* 1 In-In+1= = n(n² + 1) (-²/² ) " n(n+1) m tot n(n+1) (-2)²-(In-In-x) よって n=1 = I₁-Im+1 n+1 Spol ここで, lim Im+1=0であるから m→∞0 n+1 (x-3)^²+₁ 2+25" (x-3)* dx 02¹ mill 110 mil 02 nxn 3 =1-3 log- ≤Solf(x)\dx ←はさみうちの原理。 [63] + [25-xl(2017 ←部分積分法。 数学ⅡI- m Σ -lim ²-₁ n(n+1) (-²) ² - Im+1 n (n+1) (-2)=lim n(n+1) [ 関西学院大 〕 =lim (1-310g-3-In+1) 2 m-∞ 3 $=1-31og2 ←a<bのとき -333 So f(x) dx| 533 ←(3) の結果を利用。 7章 EX ← (In-In+1) =(1₁-1₂)+(1₂-13) +··· ...+(Im-Im+1) (b) t=11-Im+1 2333103BARO 積分法

(2)のような部分積分法で解く問題の時、部分積分をせずに(解III)のような解き方をするにはどういう部分に注意したり、気づいたら解けますか？

[-1-(2) S™ ex 0 e*cosrdr l

(2)なんですけど分母がm＋1からm＋nに変わった経緯がわからないです...

m,nを0以上の整数として, Im,n="sin" xcos" xdx とする。 次の等式を証明せよ。 ただし, sinx=cosx=1である。 @Im.n=In.m n-1 2 Im.n m+n ▷ (1) sin(x)=co 2 cos(-x)=si tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。 (2) sin" xcos"x=(sin" xcosx) cos”-'xとして 部分積分法を用いる。 E, sin+2xcos" 2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x 解答 x= よって π 2 (1) x==²(dx=(-1) dt xとtの対応は右のようになる。 -x=cosx, cos Im.n=S²³ sin" x cos" x dx th-251) ASHIN ** Ssinxc (2) n≧2のとき Ssin™. xcos" x dx=(sin" x cos x) cos"-¹xdx= sin+1xcos-1 m+1 Sinm+1, X COS Ssin" x sinxco m+1 xcos2xdx=Ssin" x n-1 ① ② から I bxk [ễ sin” xcos"xdx= したがって Im.n= π =f-sin" (2-t)cos" (2-1)-(-Dat=S² sin" x cos" xdx=In.m 2 m n-1 m+n xcos”xdx= x=sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し, 置き替えは まず始めに これを疑う、 sin+1x m+1 mtissi + -Im,n-2 Sinm+1 12-2 X COS m+n -Im.n-2 (n ≥2) m+n COS" ²x(1-cos²x)dx x cos' n-1 n-1 Sinm+1 m+1 =Ssin" xcos"-2x dx-Ssin" x cos" xdx m Sinm+, ? 8 222~ t 11 2 m+2 sin" xcos"-²x dx + & x H 0→>>> π 2 =) (n-1)cos"-2x(-sinx) dx n-T m+n E2 0 ** cos-x dx TUEIX-* C XHAVENGAHIND ****** m sin x cos' -2x dx + n=1 S² sin" x cos-²x dx 10 m+nJo

数三の定積分の問題です。 (１)ではπ／2－tでsinとcosが入れ替わることは分かるのですがm.nがまで一緒に入れ替わってしまう理由がわからないです...

- Ed 重要 例題 nを0以上の整数として, Im,n=So sin" xcos" xdxとする。 m, 次の等式を証明せよ。 ただし, sin x=cosx=1である。 ① Im.n=In.m n-1 m+n 解答 x= (1) x= 指針 (1) sin(x)=cos.x, cos(x) = sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、 ▷ π x=tとおくと dx=(-1)・dt 2 xとtの対応は右のようになる。 よって tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。 (2) sin" x cos"x=(sin" xcosx) cos” x として部分積分法を用いる。 更に, sinm+2 xcos"-2 x = sin" xcos”-2x-sin" x COS" x から 同形出現。 H Im.n Aft ・h-2より、 TL -S² sin" x cos" x dx p.339 事項 0②. Im.n= -Im.n-2 (n ≥2) = [ 216,220 00000 置き替えは まず始めに これを疑う、 8 t 0 π 2 π 2 0 ① -S"sin" ( z—t)cos" (z −t)-(-Dar-f cos" (ハート)(-1)dt=So sin"xcos"xdx=In.m 2 2 H

四角の中の計算の仕方を教えて欲しいです🙇‍♀️

=10√2-8- -8-2{/23 (3-1)²-² (2-1)²} 4√2 2 3 3 =10√2-8-2 6 7. - 20 ???