(1)についてです。 何故、丸で囲った部分の-2だけを∫の外に出せるのですか

Check 『 243 直線·曲線の間の面積 「次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。 Dy=2x+5x-1, y=2x+1 (2) y=x-3x-2, y=ー 方 まず, 曲線と直線(曲線)の交点のx座標を求めて, グラフをかく- 積分の上端と下端になるので, グラフの上下関係に注意して定積元 [y=2x°+5x-1 …D ly=2x+1 2 ① 4/2 無答 (1) 0, 2より, 1 x=-2, 2 1 -2 グラフより, 求める面積Sは、 O/ 1 x -( {(2x+1)-(2x2+5x-1)}dx -2 =|(-2x-3x+2) dx -2 1 (x 2 x- dx -2 2 +2 3 125 -2 ニ 6(2 24 1| YA |2

解説に2行目の『対称性』というのがなにかよくわかりません。

B 第3章 図形と計量 Check メカんの 1辺の長さがaの正四面体OABC で, 辺BC の中点をM として、 2OMA=0 とする. また, 頂点Oから平面ABC に下ろした垂線の足を 例 題 140 正四面体の種々の量 Hとする. 次の値を求めよ. () cosl (2) OH の長さ (4) 正四面体の体積V (3) △ABCの面積S (5) 正四面体の内接球の半径r 『妻ま(O斜G CO回回I(9) 正四面体は左の図のように回転させても同じような このように図形や立体が対称性をもつ場合, その性 考え方」 0 体の状況になる. 0 B を利用して考えるとよい。 A C B V 正四面体の内接球の半径 内接球の中心を Iとすると, OI, AI, BI, CI で, 四面体を4つ の三角錐に分割したとき, それぞれの角錐の高さが内接球の半 径になる。 つまり, 内接球の半径は, 三角形の面積を分割して内接円の半 径を求めたアイデアと同様に,分割してみる。 0 B 正四面体の外接球の半径 外接球とは4点0, A, B, C を通る球で, 対称性を考えれば, 内接球の中心と外接球の中心は一致する。 外接球の半径は OI になることを利用する。 0 I A 警 OM=AM= /3 0. 0 0 また, 対称性より, 点Hは △ABC 2 の重心である。 (1) 点Hは線分 AMを 2:1に内分 するから, △OMH において, 0 T cos 0=HM AM AM H 0 B OM (2) sin0=/1-cos'0 I 重心については 0 p.520 参照 2、2 =0,S00+@,uIS %D △OMH において, OH=OMsin0 V3 2a=AM 利用 ¥3 2/2

(2)の1行目の右辺、 どうして２θ－4分のπ になるのですか θ－ルート2分の1だとおもいました

78 第4章 三角関 Check 次の関数の最大値, 最小値を求めよ.また,そのときの0の値をめょ 考え方 sin も cos も同じ大きさの角(1)は 6, (2)は 20) であるので,与えられたまたを。 三角関数の最大·最小 例 題 152 aieK 1) y=sin@+/3cos 0 (0s0s号) (2) y=sin20ーcos 20 (0s0St) (1) y=sin0+/3cos0=2sin(0+) 0s0sであるから, s0+号5号水 よって、sin(0+号)s1 したがって, yは, sin(o+号)-1 つまり,0+等一番のとき」最大値2 sin だけの式にまとめて考える。 V3 2 解答 3 6 e -1 50 6を 2 m 元のとき,=エ 小 6 sin(9+)-つまり, 0+号言のとき」最小値1 5 元のとき、、最小値1 36 te&プ m 元のとき、0=D π 0-2 (20-号) 手520-年5号円 (2) y=sin20-cos 20=/2 sinl 0ニ 0 0S0S元であるから, 4 4 4 7 4 4ケよって, -1Ssin(20-エ)<1 したがって, yは, (20-4)-1 つまり, 20-4=のとき, 最大値、2 aia V2 =D1 π π このとき, 0= =-1 つまり, 20-年ニラ 3 く le 0まc 8 20-2 4 π sin(20 4 -π のとき, 20=2 最小値 -/2 このとき,一0=n 点-小 大のく20- .おり大ち) |20= ミー 19-S/I N

答えは合っているのですが考え方はこれでいいでしょうか？ 解答は違う考え方でした。

22 下の図で, Zxの大きさを求めなさい。 (1) 五角形 ABCDE は正五角形 ICheck (e/m) e A 19°% JE B D x1 C m X,

(2)の1行目で、なぜ0<・・・の条件が出てくるのか教えてください。はさみうちを使うことを見越していい感じの条件見つけてきたって感じですか？

例 題 100 はさみうちの原理3 のさであ 次の極限値を求めよ、の大景き タェ x] X imn2 2k-1)(2k+1)) 226 第3章 数列の極限 Check 例題1 (東京理料) a=1+ 1 (2) lim(n 2れ n→ 0 k=n R 1/1 (2) li え方 (1 ーD24+)-(2-1- 24+1) と部分分数に分解する。 (2) k21 のとき, 0<(4R-1)<だくだ+k であるから、, 1 考え方 (1) 4 考え方(1) くより、K(R+1)<声く(2k-1)(2k+1) が導かれる +k 4°-1 2 1」 2n 三-1)2k+1)=(2ォ-1 2k+1) |2k-1 解答(1) k=n (1 1| 4n-1 4n+1 解答 2n-1 2n+ 1/"(2n+1 2n+3, 1/1 2n-1 よって、 1 4n+1 J 2n n 2k-1)(2k+1)) n = lim カー 2(2n-1 4n+1/ lim → 0 k=n エ - = im 1 1/1 1 2 n 4+ n (2) k21より、0<ー(4R°-1)<だくだ+k が成り立つから、 1 4 *+k 4-1,つまり, n2 。R)くくー <n意く --点 k(R+1) (2k-1)(2k+! 2n よって、 1 2n …0 k=n (2k-1)(2k+1) 21 1 k=n ここで、 2n lim{n =lim{n 1 1→ k=n k+1 n 1 →0 n n+1 2n+! n+2 2n =lim n → 0 n 2n+1 また。-e 2n 、n 2 (1の結果を用いると、lim nこ 2k-1)(2k+1) 4 (2k-1)(2k+1)-4:n2 =(2々-1)(2k+1) より, 1 よって、①, ②, ③とはさみうちの原理より, 4. 8 k=n 2 102 練習 次の極限値を求めよ lim(n k=n n→0 100 22 3

(3)が分かりません。 式に、 10×9分の3×2 は、何故いるのですか Bがハズレるのは 10×9分の7×3 だから、これを計算して3分の1が答えでいいのでは？と思いました

404 Check 当たりくじが3本入っている 10本のくじがあり, a, bがこの順でくヒ 例題 228 条件付き確率(1) (2) aもbも当たる確率 を引く、次の確率を求めよ. ただし, 引いたくじはもとに戻さない。 (1) aが当たる確率 考え方 同様の確からしさを保つため, くじはすべて区別する. 続けて2人引くので、引いた1 (3) 6が当たる確率 とする。 本のくじを1列に並べると考える。 10本の中に当た。 解答 事象 A: aが当たる, (1) P(A)=-3 10 (2)くじを2本並べると考えると,全事象は, 10P2=10×9(通り) くじ3本 続けて引くので、 EO (事象は 10xg Jada aもるも当たるのは,当たりくじが並ぶときで, sP=3×2(通り) P(ANB)= このように、くじゃ 1列に並べていく、 つまり,「くじの子 ベ方」と考えれば 3×2 1 よって, 10×9 15 7×3(通り) (3) aがはずれ, bが当たるのは, (2)と合わせて, bが当たる確率は, 3. 7×g_ 3 10×9 10×9 53 い。 (1), (3)より, P(A)=P(B) がわかる。 P(B)= ニ 3

この問題を解くことはできるのですが、根本的に、どうして交点を通る式をこのようにkを用いて表せるのかがわかりません。解説お願いします。

5 第3章 図形と方程式 Check 例 題 82 交点を通る直線群 *2 2直線 2x-3y+5=0 …D, x+2y-6=0 の交点を通る直のうち,次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。 (1) 点(-1, 2)を通る (3) 直線3と垂直 3 と平行 (2) 直線 x+3y+7=0 2直線0, 2の交点の座標を直接求める方法も考えられるが, 計算が大変である。ここでは, 例題 81(p.155) の方法を用いる。 平行条件,垂直条件については, p.148 参照. 考え方 0 解答 実数んを用いて, (2x-3y+5)+k(x+2y-6)=0 とおくと,のは2直線①, ②の交点を通る直線を表す。 (1) 直線のが点(-1, 2) を通るので, 2.(-1)-3-2+5+k(-1+2·2-6)=0 より, のに代入して、 よって、 (2) のを整理すると,(2+k)x+(-3+2k)y+(5-6k)=0 3と5が平行なので,(2+k)·3-(-3+2k)·1=0 より, x=-1, y=2 k=-1 を4に代入 (2x-3y+5)+(-1)·(x+2y-6)=0 x, yについて整 理する。 x-5y+11=0 平行条件 k=-9 ab'-ba'=0 よって,⑤に代入して, (3) 3と5が垂直なので,(2+k)·1+(-3+2k)-3=0 より,k=1 よって,⑤に代入して, 7x+21y-59=0 垂直条件 3x-y-1=0 aa'+bb'=0 Focus 異なる2直線 ax+ by+c=0, a'x+b'y+c'=0 が交わるとき 実数kを用いて, (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 とおくと,(*) は2直線の交点を通る直線を表す (ただし,(*)は直線 a'x+6'y+c'=0 は表さない) 注》2直線の交点は,①, ②より, 点(号,号) 8 17 7 17 -2 7 ソー2= 8 (1) 2直線の交点と点(-1, 2) を通るので, 7+1 (2) ③の傾きは一より、 求める直線の傾きも一なので, yー号=--) (3) 求める直線の傾きは3であるから, yーー=3(x-号) 17 ソー 7 3 3 17 7

1枚目の(ウ)と2枚目の(2)の解き方の違いはなんですか？ 1枚目で足した合計が3の倍数になれば良いと教わり、2枚目の問題でも同じようにときましたが、足して4の倍数になるものを上げて確率を考えても出来ませんでした。 いい解き方があれば教えてください

Check 例 題 185 整数を作る問題(1) (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。 このとき,次の数の個数を求めよ.sdobe さっbods (ア) 異なる整数 4 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る とき,異なる整数の和はいくつになるか. 文 日 (イ) 偶数 (ウ) 3の倍数

(2)でw≠0と場合分けするのはいいのですが、どうして w=0のときは考えないのですか？ 原点が除かれるといえるのは、w≠0だからであってw=０の時は出された図形を満たすかもしれないじゃないですか？

Check! 練習 1の表す点 Q(w) Step Up 84 章末問題 第1章 複素数平面 る 41 直二等分 複素数平面上で点P(z) が次の等式を満たしているとき,複素数 w=- はどのような図形を描くか。 (1) 2=2+2i 42 複素。 ス Q(w (2)(1-i)z+(1+i)z=8 (3) |z-2|=2 円の周上の 点P(z) となる。 1 に代入すると, 1-i (2+2)(2-2i) 1-i (1) =2+2i を w= る したが- 2-2i (分母の実数化 学 1 W= 22 2+2i これよ よって,点Q(w)は, 点学を描く。 4 「キ0 より, wキ0 2 (2) 10=より, z=。 1 …① (ただし, wキ0) る す3る中き点原 円 s =ls (S) 2 のを(1-i)z+(1+i)z=8 に代入すると, (1ー+(1+0)-8 より。 ここ 1 3 て対 W W し 20キ0, wキ0 より,両辺に ww を掛けて, (1-)w+(1+)w=8ww より, 1-im-0 線分 w- 8 W- 8 W- 8 -=0 転 8 1+i W 1 W- 8 8 32 1-i W 1 1-i W 8 8 32 つて 円単(aa=lar Ho でが 1-i? 1 より, したがって, リー 8 32 V2 1-i. 8 1 V 32 1-i 8 V2 よって, 点Q(w)は,点 を中心とする半径 8 8 0キ0 に注意 の円を描く。ただし,原点を除く。 -ーーニーーーー- II

Focusの式がなぜ成り立つのか、分かりません。

Check 例 題 240 関数の決定2 関数f(x) が(t)dt=x°+x°+x+1 を満たすとき,f0)の (駒浮大) を求めよ、また,実数の定数aの値を求めよ。 「X 関数f(x)がf(t)dt=x°-x+a を満たすとき, f(x) と定数a の値を求めよ。 考え方 (t) dtは, 上端が変数xなので, 原始関数F(t) に変数x と定数aを代入することになり, xについての関数となる。 されをxについて微分すると, 変数 (Odt =(xの関数) d (x (F(x)-F(a)}=DF(x)=Df(x) となることを利用する d 解答(1)与式の両辺をxで微分すると, (1) dt=- (x°+x°+x+1) dx Ja より、 よって, また。(t) dt=0 であるから, 与式の両辺の f(x)=3x°+2x+1 f(1)=3·1°+2-1+1=6 上端のxに下端と同じ値。 を入れて、 xにaを代入して, 0=a°+α°+a+1 ca ()dt=0 aは実数だからα'+1キ0 より, (2)() dt=-f(t)dt より, 与式は、 S()dt=-(x"-x+a) 画辺をxで微分すると, a=-1 を利用する。 ra () dt=-(Oは を利用して,変数xが上端 になるようにする。 ()dt=(-x+x-a) 下端の定数に関係なく より, また,(t) dt=0 であるから, 与式の両辺 <x=-1 を代入する。 16のxに一1を仕入して, よって, f(x)=-2x+1 d cx d)(t) dt=f(x) ra Df(t)dt%=D0を利用する。 a=-2 Focus d (x (t) dt=f(x) | (aは定数) la