(3)番を数学的帰納法で解きました！ 間違ってるところや改善点があれば何でも言って欲しいです。お願いします、、！

nを自然数とする。 一般項が an = n(n+1) で表される数列{an}を考えて, {an}の初項から第n項までの和をSとする。このと き、以下の設問に答えよ。 (1) S1, S2, S3, S4 を求めよ。 (2) Smについて, S, <1となることを示せ。 (3) 一般項が bn=1-1 (n+1)² で表される数列{bn} を考える。 数学的帰納法を用いて が成り立つことを示せ。 1-Sn <bi.bz..... bm Sn= |- nti bn=1 - (n+1)" (3) |- Sn<bibz…..ba①が成り立つことを 数学的帰納法を用いて示す。 (i)n=1のとき (た辺)=1-1/2 (512)= |- == 2 = = 2 (te: 32) (10 272) 51). n=1のとき、①は成り立つ。 (=k(kは自然数)のとき①が成り立つと仮定する。 すなわち、1-Sk<bi-babk母が成り立つと仮定する。 bibabkbkti-(HS)=Pとすると、 D²¹), (1-Sk)- bakti -(1-Seri)<< bi b₂=-=bk²bk +²= (1-5)=P k+3k+2 (1-5k)· bu+) - (1-5mm) = _ x² + 46 13 (k+1) (k+2)² (k+2}{(k+1) (taja Kは自然数なので O< (k+2) = <P OPなので、1-S<bb2.bbatが成り立 よって、n=k+1のときも①は成り立つ。 (ⅰ)(i)より、すべての自然数んについて。 不等式が成り立つ。(Q.E.D!

(2)を数学的帰納法を用いて証明したのですが、合っていますか？、 また数学の記述として、こうした方がいいとかあれば教えてほしいです！ (1)の問題の証明は省いてます。

3 nを自然数とするとき、以下の設問に答えよ。 (1) 不等式 が成り立つことを証明せよ。 (2) 不等式 √n+1-√√n < 2√n Vn+1< + n-1 2√2 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。 n-l (②2) 不nati</12/2+12/01/2①の成り立つ ことを数学的帰納法を用いて示す。 (i)n=1のとき 3 4 (€22) = √2 (622) = 2²/2 = √ √ 7. であるから、V よって、n=1のとき、①は成り立つ。 (iⅱi)n=k(kは数)のとき、①が成り立つ仮定する。 すなわち、kti<予+ 2 2√2 UK12-332-15=Pとすると 2√2 (1)より、Vk+2 <Vk+1+ 2Vk+1 よって、PCVK+1+2k-12/12-11 3 3 k 2 2V2 ②より、P<Vk+i+ 1Kより、2Nk+1 よってPKO すなわち、Nk+1/2/2+1/2となり n=k+1のときも①は成り立つ。 20k+1 21≦0 (ⅰ))より、nを自然数とするとき ①は成り立つ。 20k+1 2V2 Q.E.D.D

数3です。 この式変形を教えてください。

192 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ・･･ はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ･･････) を満たすとき (2)3-an+1< 1/12 (3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<a<3 を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 ! 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて n≦an≦gn のとき limp=limgn=α ならば n-00 7140 なお、次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+an>2> 0 練習 ③ 113 .….... ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ①は成り立つ。 3-An -(3-an) (2) 3-an+1=2-√1+an 2+√1+an (3)(1),(2) から 0<3-an S したがって liml 2 (13) (34)=0であるから 11-00 lim(3-an)=0 1400 liman=3 n-1 ≤ (1) ² (3-a₁) 3 n-00 LE a=2, n≧2のとき an liman = a n→∞ 3 2 [類 神戸 p.174 基本事項 3 基本 105 van-1 1 数学的帰納法による。 ◄0<a₁<3 KOM 0<a から √1+an>1 an<3から √1+ak <2 <3-α>0であり、a>0か ら 2+√1+an>3 n≧2のとき, (2) から 3-an< (3-an-1) <(1) ²(3-an-2)..... n-1 · < (-/-) "¹¹ (3-as) 3 を満たす数列{an}について

花子さんの方針をどう利用しているかがわかりません。 (＊)の部分から既にどういうことなのかわからないため教えていただきたいです。

|第3問~第5問は、いずれか2問を選択し、 解答しなさい。 第4問 (選択問題) (配点20) 太郎さんと花子さんは、次のように定められた数列{an}に関する 【問題】について話して いる。 an+1=30-5 (n=1,2,3,...) 二人の会話を読んで、下の問いに答えよ。 【問題】 41=7のとき,任意の自然数nについて 27 は4の倍数であることを示せ。 太郎:数列{an}の漸化式は、前に授業で学習したタイプだから, 一般項を求めること ができるね。 花子: まず, mを定数として Qn+1=34-5を an+1-m=3(an-m) の形に変形するといいんだよね。 F (1) の値、および α = 7 のとき. 数列{an}の一般項を求めると である。 m = ア イ 2 an = + +1 + I オウ +0.0 KI 8.4 0.1 (数学I・数学B 第4問は次ページに続く。) 太郎: 一般項がわかったから, それを用いて 【問題】 の証明ができるかな。 「花子:a2, a, a6, …. についてすべて成り立つことを示すんだよね。 太郎: 自然数nについての証明だから、 数学的帰納法を利用できるんじゃないかな。 (2) 【問題】 について, 太郎さんは一般項を用いて証明する構想を立てた。一方, 花子さんは 一般項を用いなくても証明できるのではないかと考えて構想を立てた。 太郎さんの証明の構想 An=a2n とおくと A1= カキ 16 A₁ ウ) = ・花子さんの証明の構想 An = a27 とおくと A = カキ である。また, Anが4の倍数であると仮定して Am = 4p (pは整数)とおくと､ 2 12月+1 P- -ヶ月より 4P+4 である。 また 32m 16 2n+2 - Am - ソタ 2 +5 An+1= コサカーシス ゆえに, An+1 も4の倍数になることより, 数学的帰納法によって 【問題】 は示される。 3 (4P-1)+5 2 a1=7,92=16,a3=43,U+=12:4 tz An+1= ゆえに, Am が4の倍数ならば, An+』も4の倍数になることより, 数学的帰納法によっ て 【問題】 は示される。 (数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)

（2）で誘導に乗らずに図形的な処理をして一般項を出してしまったのですがこの場合帰納法で証明してから一般項を決定する方がいいのでしょうか？

Warm Up... ***** 59 1辺の長さが1の正方形を Si とし, S, に内接する円を C.C に内接する1 つの正方形を S2, S2 に内接する円を C2 とする。 以下同様に, 自然数nに対し, 正方形 Sn, 円 Cnを定める。 すなわち,正方形 S の内接円が Cn であり, 正方 形 Sn+1 は円 C に内接している。 (1) S の1辺の長さを1とするとき (²/ (2) 数列{ln}の一般項を求めよ。 で表せ。 の半径をIn (3) Snの内部からCの内部を除いた部分の面積をaとする。 Σan を求め n=1 よ。 AS+Stee.e [15 神奈川大〕 mith

この矢印のとこどういう式変形ですか？

[三訂版シニアIⅡAB受 ポイントチェック 398] n は正の整数とする。 n >3のとき, 不等式n! > 2" が成り立つことを数学的帰納法を用 いて示せ。 (解説) n!>2n ① とする。 [1] n=4 のとき (左辺)=4!= 24, (右辺)=2^=16 よって, 不等式 ①は成り立つ。 [2] k 4 として,n=kのとき①が成り立つ、すなわちん! > 2k n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると、②から (k+1)! -2k+1= (k+1).k!-2k+1>(k+1)-2-2.2k、 =(k-1).2² >0. すなわち (k+1)! > 2k+1 よって,n=k+1のときも不等式 ①は成り立つ。 [1], [2] から,n> 3のとき, 不等式 ①は成り立つ。 ...... ② と仮定する。

高校2年数B 数学的帰納法についてです。 マーカーをつけたところの変形の仕方がどうしても分からないので解説していただきたいです。 よろしくお願いいたします。

1-1/2+ (2) 1 ·+· 1 2n-1 1 1 2n n+1 + 1 n+2 + + 1 n+n

(２)の計算過程がわかりません 詳しく教えてください

32. 数列{an} において,初項から第n項までの和を S” と するとき, α=1, an+1=an+ 1/12 Snが成り立つ。 (1) bn=an+1 11/12 an とおくとき, bn をnの式で表せ。 An (2) an をnの式で表せ。

数Bの数学的帰納法です352番が分かりません 解説お願いします。

*352nを自然数とするとき次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ。 1 1 3 1 [10 東北学院大] 1-2 3.4 4 + + 1 5-6 +. ・+ 1 (2n-1) ・2n 4n

数Ⅲ 漸化式の数列の極限です。 1)をお願いします

Ex4 : 数列{an}をa1 =1, an=1+/-1 (n=2, 3, 4, ...) で定める。 (1) すべての自然数nに対して, 1≦a≦2が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい。 (2) lim an を求めなさい。 n→∞