Question

は

(２)の計算過程がわかりません
詳しく教えてください

32. 数列{an} において,初項から第n項までの和を S” と
するとき, α=1, an+1=an+ 1/12 Snが成り立つ。
(1) bn=an+1 11/12 an とおくとき, bn をnの式で表せ。
An
(2) an をnの式で表せ。

33 (1) 右辺を展開すると
(x+1+y+1)(x+y)-xy(x"+y")
=x+2+xy+1+x+y+y+2
-xm+ly-xy+1
=x+2+y=+2
したがって
x n +2 + y = +2
=(x+1+y"+1)(x+y) - xp(x"+y")
(2) 「(1+√2)+(1-√2)" は自然数である」 を
(A) とする。
[1] n=1のとき
(1+√2)+(1-√2)=2
n=2のとき
(1+√2)² + (1-√2)^=6
よって,n=1,2のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=k,k+1のとき (A)が成り立つ、すなわ
ち (1+√2)+(1-√2)^,
(1+√2)+1+(1-√2)+1 は自然数であると仮
定する｡
n=k+2のときを考えると, (1) の等式から
(1+√2)+2 +(1-√2)+2
={(1+√2)^+1+(1-√2)+1}
x{(1+√2)+(1-√2)}
x{(1+√2)^+(1-√2)^)
-(1+√2)(1-√2)
=2{(1+√2)^+1+ (1-√2)+1)
+{(1+√2)^+(1-√2)}
よって, (1+√2)+2+(1-√2)+2は自然数で
ある。
したがって,n=k+2のときも (A) が成り立
[1], [2] から,すべての自然数nについて (A) が
成り立つ｡
数学B

数学的帰納法 数列