Question

、

花子さんの方針をどう利用しているかがわかりません。
(＊)の部分から既にどういうことなのかわからないため教えていただきたいです。

|第3問~第5問は、いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第4問 (選択問題) (配点20)
太郎さんと花子さんは、次のように定められた数列{an}に関する 【問題】について話して
いる。
an+1=30-5 (n=1,2,3,...)
二人の会話を読んで、下の問いに答えよ。
【問題】 41=7のとき,任意の自然数nについて 27 は4の倍数であることを示せ。
太郎:数列{an}の漸化式は、前に授業で学習したタイプだから, 一般項を求めること
ができるね。
花子: まず, mを定数として Qn+1=34-5を
an+1-m=3(an-m)
の形に変形するといいんだよね。
F
(1) の値、および α = 7 のとき. 数列{an}の一般項を求めると
である。
m =
ア
イ
2
an =
+
+1
+ I
オウ
+0.0
KI
8.4
0.1
(数学I・数学B 第4問は次ページに続く。)
太郎: 一般項がわかったから, それを用いて 【問題】 の証明ができるかな。
「花子:a2, a, a6, …. についてすべて成り立つことを示すんだよね。
太郎: 自然数nについての証明だから、 数学的帰納法を利用できるんじゃないかな。
(2) 【問題】 について, 太郎さんは一般項を用いて証明する構想を立てた。一方, 花子さんは
一般項を用いなくても証明できるのではないかと考えて構想を立てた。
太郎さんの証明の構想
An=a2n とおくと
A1= カキ 16
A₁
ウ)
=
・花子さんの証明の構想
An = a27 とおくと
A = カキ
である。また, Anが4の倍数であると仮定して Am = 4p (pは整数)とおくと､
2
12月+1
P-
-ヶ月より
4P+4
である。 また
32m
16
2n+2
-
Am - ソタ
2
+5
An+1=
コサカーシス
ゆえに, An+1 も4の倍数になることより, 数学的帰納法によって 【問題】 は示される。
3 (4P-1)+5
2
a1=7,92=16,a3=43,U+=12:4
tz
An+1=
ゆえに, Am が4の倍数ならば, An+』も4の倍数になることより, 数学的帰納法によっ
て 【問題】 は示される。
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ページに続く。)

(3) an が 13の倍数ならば, an+gも13の倍数となるような自然数g のうち、最小のものは
HILLO
Al
q=
チ
である。 このgに対して, a1 = ツのとき,任意の自然数nについて agn
は13の倍数になる。
02
については,最も適当なものを、次の①~⑤のうちから一つ選べ。
C
① 4
②6
8
4 10
(6)
12

(3) 花子さんの方針で考える。-
(-)-
an が 13 の倍数ならば+αも13の倍数となる
ためには、 rを整数として
an+g = ran + ( 13の倍数)
となることが必要である。 ①,④よりg=1,2のと
きは不適である。さらに,④より
El 6-M8S
an+3
3an+2 -5
3(9an - 20)-5
=
=
= 27an - 65
であるから, (*) を満たす最小の g は
したがって
q=3
である。このとき, αが13の倍数ならば, asm (n=1,
an
2,3,…)は 13の倍数になる。ここで,④より
a3 = 9a₁ - 20
であるから, a の値について α の値をそれぞれ求
めると、次の表のようになる。
TIE
....
O
① 4
(2)
②
6
③ 8
52
(4) 10
70
(5) 12 88
a1 as
2 -2A340 (
16
34 11-0
08-A,A
a A (ID).A (0)
a₁ = 8
のとき, an (n = 1, 2, 3, ...) が 13の倍数になる
ことが⑤から数学的帰納法によって示される。