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基本例 115常に成り立つ不等式(絶対不等式)
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式 x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して, 不等式 ax²-2√3x+α+2≦0 が成り立つような定
p.187 基本事項
数αの値の範囲を求めよ。
指針左辺をf(x) としたときの, y=f(x)のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つのは,
y=f(x)のグラフが常にx軸より上側 (y>0の部分)に
あるときである。
y=f(x)
WORKDA
E
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は, x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x)=0 の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
+
x
f(x)の値が常に正
D<0はんについての不等式になるから,それを解いてkの値の範囲を求める。
(2)(1)と同様に解くことができるが,単に 「不等式」とあるから, a=0の場合(2次
不等式でない場合) と α≠0の場合に分けて考える。
a≠0の場合,αの符号によって, グラフが下に凸か上に凸かが変わるから,αにつ
いての条件も必要となる。 また, 不等式の左辺の値は0になってもよいから,グラ
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
=(-)-a
解答
(1) f(x)=x2+(k+3)x-k とすると, y=f(x) のグラフ
は下に凸の放物線である
よって、 すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つた
めの条件は,y=f(x) のグラフが常にx軸より上側にあ
る,すなわち, y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもた
ないことである。
)
ゆえに、2次方程式(x)=0の判別式をDとすると, 求
める条件は D<0 100 (e-)(I
D=(k+3)2-4・1・(-k)=k2+10k+9
=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より
(k+9)(k+1)<0
よって
-9<k<-1
0-930
(2)a=0 のとき,不等式は-2√3x+2≦0となり,
例えばx=0のとき成り立たない。
[3]
f(x)のx2の係数は正で
あるから下に凸。
指針
★ の方針。
不等式が成り立つ条件を,
y=f(x) のグラフの条件
に言い換えて考える。
f(x)>0から
D> 0
とすると誤り!
D<0 の "<" は, グラフ
がx軸と共有点をもた
ないための条件である。
α = 0 のとき,左辺は2
次式でない。
