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C2-48
(396)
第5章 複素数平面
Think
例題 C2.22 単位円に内接する正多角形
****
複素数平面上において、原点を中心とする半径
1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を,
が z-1=0の解となるから,
2ドアブルの定理
(2)(1)よりは1の6乗根の1つであり,
1, a, a, a, a, a
(397)
C2-49
p.C2-38 例題 C2.19
z-1=(z-1)(za)(za)(za)(za)(za)
注> 参照
y4
Q2
a
21
とおける.
21
0
a³
1x
一方、
3
26
z-1=(z-1)(z+2+2+2+z+1) ......③
-1
0
x
解答
左回りに 21. Z3 Z3.21.25.26 とする.
また, a=cosotising とする。
このとき、次の問いに答えよ、
(1)
++++25 +26 の値を求めよ.
(2) (1-2) (1-2) (1-0)) (1-0) (1-α)=6であることを証明せよ。
考え方 24 25 26は正六角形の頂点であり、この
6点は、 単位円周上の6等分点である。
つまり、点を原点Oのまわりにだけ回転させると.
に移る。同様に、それぞれの点を原点のまわりに
だけ回転させると、
21,226
25 25→26にそれぞれ移る
(p. C2-38 例題 C2.19注>参照)
(1) 点 21, 2,......26 は単位円周上の6等分点である。
また a=cos+isinは,点を原点Oのまわり
である.ここで, ② ③より、
(z-1)(za)(za)(za)(za)(za)
=(z-1) (z+2+2+2+z+1)
であるから,
(za)(za)(za)(za)(za)
=2+2+2+2+z+1
となる
これは,zについての恒等式であるから, z=1 を両
辺に代入すると,
(1-α) (1-α) (1-α) (1-α^) (1-α)=6
a
a
が成り立つ。
Focus
2π
2π
a=cos +isin
n
n
とすると,単位円周をn 等分する点は,
1,α,
',, α"-' と表される
第5章
また,
にだけ回転させる複素数であるから,
となるので,
22=az
23=0z2=221
26=Qzs=Qz1
2+2+2+2+25+26
=2+2+2+2+2+z......①
430 4
z-1=(z-1)(z -α) (z -α^) (za-l)
(1-α)(1-α) (1-α) (1-α) (1-α)=6より両辺の絶対値をとると
| (1-α) (1-α) (1-α") (1-α")(1-α)|=|1-α||1-α||1-α||1-α'||1-α|=6 と
~10
なる.この式の図形的な意味を考えてみよう.
単位円周を6等分する点をA。 (1), A(α).
y4
A2(2), As(a), A(a), A5(α) とすると,
この式は,単位円の弦の長さの積
Az(a)
A₁(a)
での和である.
①は、初項 z1, 公比 αの等比数列の初項から第6項ま
ois-Bala
初項 z1, 公比α
(αキ1) の等比数
AA1・ADA2A6A3A.AiA.As=6
であることを表している。
As (a³)
Ao (1)
0
α≠1 より
列の初項から第
z₁(1-a)
2+2+2+2+25+26=
となる.
n項までの和は,
1-a
05 air+82(1-α)
1-a
このことは,練習 C2-22 の(2)のとおり, 単位円周をn
等分する点についても成り立つ。 つまり 半径1の
円に内接する正角形の1頂点から,他の各頂点に
引いた線分の長さの積はnになる.
A(a)
As(as)
ここで,
練習
α=(cos+isin
よって,
=cos2m+isin2π
=1
+2+2+2+2+26= 0
B200+ 2 (S)
200+1-2 (c)
される。
***
Z3, ....... zm とする. また, α=cos
stat (0)
複素数平面上において, 原点0を中心とする半径1の円に
02.22 内接する正角形の頂点を表す複素数を,左回りに Z1,Z2.
+isin とする.
ya.
22
2π
2π
n
n
0
11x
(1)1+2+2+......+z=0 であることを証明せよ。
(2) (1-α) (1-α) (1-α)...... (1-α"-1)=nであることを
証明せよ.
2n
B1
B2
C1
(北海道大改)
●p.C2-51 24
C2
