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第7章 数
基礎問
134 漸化式の応用
本も1点で交わらないとき,これらの直線によって平面が an個
平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3
の部分に分けられるとする.
(1) 1, 2, as を求めよ.
(2) n本の直線が引いてあり, あらたに (n+1) 本目の直線を引
いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか.
(3) (2) を利用して, an+1 を an で表せ.
(4) am を求めよ.
精講
まず、設問の意味を正しくとらえないといけません.nが含まれて
いるとわかりにくいので,nに具体的な数字を代入してイメージを
つかむことが大切で,これが(1)です.
(3)が最大のテーマです.「an+1をan で表せ」という要求のときに, 41, 0
as などから様子を探るのも1つの手ですが、それは137以降 (数学的帰納法)に
まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか
を学習します。
an と an+1 の違いは直線の本数が1本増えることです.
直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが、問題
はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります.
線と n
の半直
(4)
①
1本
よ
(1)
(a1)
解答
(a2)
4
2
(a3)
図より, α=2
図より、
a2=4
図より, α3=7
(2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら
ないので, (n+1) 本目の直線は, それ以前に引いてある本の直線の
すべてと1回ずつ交わっている。よって,n か所で交わる.
演習
